线性分段连续型随机微分方程数值解的收敛性和稳定性*

巩全壹，张 玲，王文丽，赵婷婷，王雅洁

(大庆师范学院)

0 引言与预备知识

随机微分方程数值解的研究，已有诸多成果，见文献［1，3，4，6，7］，其中 Higham D J等人［4］给出了随机微分方程数值解与矩指数稳定.随机延迟微分方程数值解的研究，可参考文献［2，5，8，9，10，11］，其中曹婉蓉等人［2］给出了随机延迟微分方程Euler-Maruyama方法的均方稳定性;毛学荣［11］讨论了随机延迟微分方程Euler-Maruyama方法的指数稳定性.

在该文不做特别的说明，令|x|是欧几里得范数，(Ω，F，P)是完备的概率空间，并具有满足通常条件的代数流{Ft}t≥0.

考虑一维的线性分段连续型随机微分方程

其中B(t)是一维布朗运动过程，［·］表示取整函数.

该方程等价于下面的积分方程

令h=是步长其中整数m≥1并且节点tn被定义为tn=nh，n=0，1，2，…，给出方程(1)的Back-Euler方法，

其中n=1，2，…，并且ΔBn=B(tn+1)-B(tn)，yn是x(tn)的近似解，而yh(［nh］)是x(［nh］)的近似，为了计算简便，令n=km+l(k=0，1，2，…，l=0，1，2，…，m-1)，因此(3)简化为下面的格式，

其中 ΔBkm+l=B(tkm+l)-B(tkm+l-1)，ykm+l是x(tkm+l)的近似解，而ykm是x(［tkm+l］)的近似解，而yh(［nh］)定义为ykm.把(4)进行连续化得到如下式子，为了计算简便，后面的证明过程中应用的条件期望省略，得到的结果一致.

其中对于t∈ (tkm+l，tkm+l+1)，z(t)=ykm+l，(t)=ykm+l+1，z(［t］)=ykm.

1 Back-Euler方法的收敛性

下面给出线性分段连续型随机微分方程数值解的收敛性.

引理1.1 存在一个正数C1使得方程(1)解和连续的数值解(5)满足

其中C1=C1(T，L2)是与h无关的常数.

证明 由(5)可得

由Hölder不等式可得

对于所有0≤t≤T，得到

通过Doob＇s鞅不等式，得到

由Gronwall不等式得到

同理可得

其中C1=3E|x0|2exp{6T2(a+b)+24T(c+d)}.证毕.

引理1.2 存在一个正数C2使得下面的式子成立

其中C2=C2(T，L2)是与h无关的常数.

证明 对于t∈［0，T］，则存在两个常数k，l使得t∈［tkm+l，tkm+l+1］，那么

因此，

对上面的式子取期望得到

因此，

其中C2=C1(3a2T+6c+6d+3Tb2).

同理可得

定理1.1 方程(1)是均方收敛，即

证明 由(2)和(5)得

由Hölder不等式有

对于所有0≤t≤T，得到

通过Doob＇s鞅不等式，得到

由Gronwall不等式可得

因此，

证毕.

2 Back-Euler方法的稳定性

该节讨论零解的稳定性.

2.1 解析解的稳定性

首先给出证明该方程数值方法均方稳定性的预备引理.

引理 2.1［14］方 程dx(t)= ［ax(t)+bx(［t］)］dt，x(0)=x0的解x=0是均方稳定的的充分条件为

定理2.1 若方程(1)满足2a+2b+c+d＜0，那么方程(1)是均方稳定的，即

证明 由伊藤公式，对于t≥0可得

把上式两端取数学期望，得

由引理2.1和2a+2b+c+d＜0可知，

2.2 数值解的稳定性

定义2.1 若方程(1)对任意的步长h，使得定步长数值方法应用于方程所得的数值解yn满足

则称该方法均方稳定(GMS稳定).

定理2.2 若方程(1)满足2a+2b+c+d＜0，则对任意步长h时，应用于方程的Back-Euler方法是均方稳定的，即

证明 由(4)得

从而得到

因而，当1-2a-hc＞0时，

其中

因此通过对l递推可得到

又因为2a+2b+c+d＜0，所以 σ1+σ2=

因而

所以，对任意的的步长h时，

证毕.

3 数值算例

下面给出两个算例来验证方程(1)数值解的收敛性与稳定性.考虑下面的试验方程

3.1 收敛性

当a1=-2，a2=1，b1=0.3，b2=0.1，x0=1时，在表1中描述了数值算例的Back-Euler方法是收敛的，计算在点T=2，3处的误差并且误差值为E|ykm+l(ω)-x(T，ω)|2，这里ykm+l(ω)是(3)在节点处的值.估计在区间［0，5］上(ωi:1≤i≤1000)平均样本路径，即

在表1里可以看到数值算例的Back-Euler方法是收敛的.从而方法(3)是有效的.

表1 Back-Euler方法数值解的全局误差

3.2 稳定性

当a1=-3，a2=1.5，b1=1，b2=0.5，x0=1时，在图1中描述了数值算例的Back-Euler方法是稳定的，在图1中，当h=1/8，h=1/4，h=1/2，h=1时，所有的曲线都趋于零，因此，验证的结果和本章证明的结论是一致的.

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