三维Minkowski空间中的类光轴旋转曲面*

金明浩，范广慧，陈 亮，赵广宇，符建华

(1.黑龙江工程学院;2.东北师范大学;3.长春理工大学;4.哈尔滨商业大学)

0 引言

自1970年提出子流形上的有限型浸入概念之后，得到了迅速的发展［1-3］.M是m维欧氏空间Rm上的子流形，设等距浸入映射φ:M→Rm是有限型浸入，当且仅当φ作为M上的位置向量场能表示为M上的拉普拉斯算子Δ的有限个特征值的和，Chen B Y将流形的有限型浸入概念推广到流形的微分映射中［2］，特别是给出流形上高斯映射的有限型概念［3］.在该文中主要讨论了1型高斯映射情形.

设欧氏空间R3中流形M具有1型高斯映射G，当且仅当G满足

其中λ∈R，C是向量.然而有一些曲面，如R3中的圆锥面、悬链面、螺旋面，满足如下等式［4-5］

其中φ是M上的函数.事实上，曲面M满足(2)，当且仅当M具有逐点1型高斯映射.

在文献［6-7］中研究了三维Minkowski空间中具有逐点1型高斯映射的非类光轴旋转曲面，而在该文中将讨论三维Minkowski空间中具有逐点1型高斯映射的类光轴旋转曲面，并给出了类光轴旋转曲面在逐点1型条件下的分类.

1 基本概念

设R31是三维Minkowski空间，对于任意两个向量x=(x1，y1，z1)，y=(x2，y2，z2)∈R31，定义两个运算

和

并分别称它们为两个向量的伪内积和伪向量积.

设x∈是非零向量，若〈x，y〉＞0，〈x，y〉=0或〈x，y〉＜0，则分别称x为类空向量，类光向量或类时向量.x的模定义为 ‖x‖ =z(t))是中正则曲线，Ⅰ是R中开区间，如果〈γ'，γ'〉＞0，〈γ'，γ'〉=0 或〈γ'，γ'〉＜0，则称γ(t)分别为类空曲线，类光曲线或类时曲线.记称为二维desitter空间H2(-1)={x∈=1}称为二维Hyperbolic空间.

设M是中的连通曲面，则高斯映射G将M上的每一点映成该点处的单位法向量，当M是类空时，它的高斯映射是，当M是类时，它的高斯映射是G:M→H2(-1).g=(gij)是M上度量构成的矩阵，g-1=g(ij)和Γ =detg分别表示g的逆矩阵和行列式，Δ是M的第一基本形式诱导下的拉普拉斯算子，具体表示如下

其中f(u)，g(u)是光滑函数，h(u)=f(u)-g(u)≠0.

该文中若无特别说明时，函数均是光滑的，旋转曲面均指类光轴旋转曲面.

引理1.1 若旋转曲面具有逐点1型高斯映射，则(2)式中的φ只依赖于u，并且向量C平行于向量(1，1，0).

证明 依如上，选取旋转曲面M的表达式为

其中母线 γ =(f(u)，g(u)，0)，h(u)=f(u)-g(u)≠0.γ是正则曲线，即-f'2+g'2≠0，这意味着对任意γ∈Ⅰ有

可选取适当参数ω使得-2ω=f(ω)-g(ω)，其中u=h-1(-2ω).不失一般性，可以令h(u)=-2u，则存在函数k(u)=f(u)+u=g(u)-u，使曲面M的表达式变为

通过计算得

当k'＞0，u＞0时，有

算子作用于高斯映射得出的分量记为((VG)1，(VG)2，(VG)3)，则通过(2)式得出

其中C=(c1，c2，c3)通过计算(5)～(6)得

再由(7)整理得

(8)和(9)式说明了φ只与变量u有关，并且c1=c2，c3=0.意味着向量C平行于向量(1，1，0)，证毕.

2 第一类逐点1型高斯映射的类光轴旋转曲面

证明 同样选取(3)式表达式，与引理2.1类似的计算得

通过消去φ整理得

不失一般性，取γ为弧长参数，即f'2-g'2=-1.则存在光滑的中间变量函数t=t(u)，使得

另一方面，通过曲面的平均曲率公式

其中h=f-g≠0，因此平均曲率H为常数.当f'2-g'2=1时，同理可证.

通过引理1.1中的分析，可选取适当参数使M表示为如下

此时给出当k(u)是多项式函数(有理函数)时，称曲面M是多项式(有理)旋转曲面，则有如下定理.

证明 由平均曲率是常数，易得出

其中α是常数，并且k'＞0，u＞0，而上式是伯努利方程，通过求解得

其中a是常数.下面对上述解k(u)分情况讨论.

假设α=0，则此解为，其中b是常数.此时M是多项式旋转曲面且由文献［2］中的定理1.1，M是二类Enneper曲面.

这说明曲面M是以B为中心的半径为的Hyperbolic伪球.

假设αa≠0，则k(u)是无理函数，不符合题意.

同理当k'(u)＜0时，满足条件的多项式和有理旋转曲面分别是二类 Enneper曲面和Hyperbolic伪球，证毕.

3 第二类逐点1型高斯映射的类光轴旋转曲面

证明 设M是具有第二类逐点1型高斯的有理旋转曲面，即M满足

其中φ是M上的函数，C=(c，c，0)，c≠0.由(8)易得

将(9)代入(5)并取C=(c，c，0)，则有

因为k是有理函数，k'和均是有理函数，因此(17)式可写为

因为Q是有理函数，不妨假设，其中p和q是互质的多项式函数.

假设，q(z)=azm，a是非零常数，m≥1令p(z)=zk+a1zk-1+…+ak.因为(p，q)=1，ak≠0，Q(z)在0点的可展开成如下

则(18)式左端最小次数是3m，右端最小次数是2m，而m≥1，因此右端2m次项的系数必为零，即

得到矛盾，因此m=0且

假设，degp=k≥ 1.则存在实数 α1，α2，…，αk使得p(z)=(z-α1)(z-α2)…(z-αk).因此有

因此Q(z)可写成

其中r＞0.将(19)式带入(18)，再比较的次数同样得到如下等式

矛盾.

以上说明(18)式不成立，因此Q(z)=0，即k'=0，这与M的正则性矛盾，证毕.

［1］ Ruh E A，Vilms J.The tension field of the Gauss map［J］.Trans Amer Math Soc，1970，149:569-573.

［2］ Chen B Y.Total Mean Curvature and Submanifolds of Finite Type.Series in Pure Mathematics，1.World Scientific Publishing Co，Singapore，1984.

［3］ Chen B Y，Piccinni P.Submanifolds with finite type Gauss map［J］.Bull Austral Math Soc，1987，35:161-186.

［4］ Chen B Y，Choi M，Kim Y H.Surfaces of Revolution with pointwise 1-type Gauss map［J］.Korean J Math Soc，2005，42(3):447-455.

［5］ Choi M，Kim D S，Kim Y H.Helicoideal Surfaces with pointwise 1-type Guss map［J］.J Korean Math Soc，2009，46(1):215-223.

［6］ 金明浩，裴东河.三维Minkowski空间中具有逐点1型高斯映射的时间轴旋转曲面［J］.山东大学学报:理学版，2013，48(2):57-62.

［7］ 金明浩，裴东河.三维Minkowski空间中类空轴旋转曲面的分类［J］.数学的实践与认识，2013，43(5):257-264.