寻找问题“原型” 巧引解题思路

林朝顺

教材内容是高考试题的重要来源，对于一些难度较大的题目，往往是经过命题者的加工，若能揭开其神秘面纱，找到其“原型”，便会豁然开朗，轻松找到解题思路.下面结合笔者的教学，总结常见的几种类型，以期抛砖引玉.

一、寻找不等关系“原型”，轻松破解不等式

例1.（2013年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题）

已知函数f（x）=ex-ln（x+m）

（1）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性.

（2）当m≤2时，证明f（x）>0.

解析：（1）略.

（2）易证不等式ex≥x+1和ln（1+x）≤x，两个不等式都是等号当且仅当x=0时成立.所以ex≥x+1≥ln（1+x+1）=ln（x+2）≥ln（x+m）.上式的第一个不等号和第二个不等号不会同时成立，所以当m≤2时，证明f（x）>0.

点评：本题解题的关键是联想到微积分中常见的不等式——ex≥x+1，对上式两边取对数得x≥ln（1+x）.

结论1：当a>1时，ax≥（lna）x+1，ax≥ln（1+ax）

结论2：当a>1时，ax>ln[ln（a）x+2]

解析：当a>1时，ax≥（lna）x+1，ax≥ln（1+ax），因此ax≥（lna）x+1

≥ln[1+（lna）x+1]=ln[2+（lna）x]，以上式子的两个等号不会同时成立，所以结论2成立.

二、还原几何图形“原型”，揭开面纱的真相

例2.（福建省2013届高三第四次大联考）

已知底面为正方形的四棱锥O-ABCD，各侧棱长都为2，底面面积为16，以O为球心，2半径作一个球，则这个球与四棱锥O-ABCD相交部分的体积是 .

解析：发现四棱锥O-ABCD是正方体的一部分.于是，以O为中心，以ABCD为一个面，把四棱锥O-ABCD补成一个正方体ABCD-EFGH，因为四棱锥O-ABCD的高是2，所以所作的球是正方体ABCD-EFGH的内切球.于是，所求的体积是正方体内切球体积的，所以这个球与四棱锥O-ABCD相交部分的体积是：×π×23=π

点评：很多几何图形是由我们熟悉的图形通过割补等变换得到，若能还原为我们熟悉的图形，必定会给解题带来方向。

结论1：已知底面为正方形的四棱锥O-ABCD，各侧棱长都为2，底面面积为16，以O为球心，2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O-ABCD相交部分的体积是64.

点评：所作的球是正方体ABCD-EFGH的外接球.

结论2：已知底面为正n（n=3，4，5）边形的正棱锥顶点为O，各侧棱长都为a，顶点到底面的距离为h，以O为球心，h为半径作一个球，则这个球与正棱锥相交部分的体积是.

结论3：已知底面为正n（n=3，4，5）边形的正棱锥顶点为O，各侧棱长都为a，底面面积为b，顶点到底面的距离为h，以O为球心，a为半径作一个球，则这个球与正棱锥相交部分的体积是.

点评：结论2、3中，把正n棱锥补成正多面体即可.

三、几点启示

1.注重教材，积累“原型”.课本中蕴含着丰富的知识和方法，很多试题以课本知识为背景，都可以在课本中找到“原型”.要引导学生重视教材，拓展教材，利用教材构造完整的知识体系，弄清各块知识的来龙去脉，在更高的层次把握和运用教材.

2.注重探究，提升能力.引导学生从不同角度思考问题，认识不同问题的本质属性。经常进行一题多解、一题多变、多题一解等训练，提升学生的探究问题能力，从而能够对问题举一反三，触类

旁通.

3.识别“原型”，转化问题.转化与化归是高中数学中的核心思想.是由“未知”通往“已知”的桥梁，利用化归思想解题的关键是确定合理、可行的转化目标，明确将未知转化为已知的意义，其中，识别“原型”有时会给化归指明正确的方向.

参考文献：

王剑明.课本不等式应用三重境界[J].中学数学，2013（19）.

编辑 鲁翠红