生活中的一元二次方程

彭翠红

我们在学习数学知识的同时，更重要的是学会用数学知识解决生活中的实际问题，这样才能体现数学的应用价值，下面我们举几个与“一元二次方程”相关的实例.

一、 传播问题

例1 甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感.（1） 平均每天一个人传染了几人？（2） 如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？

【分析】假设平均每天一个人传染x人，如果前一天只有1个人感染，1天后感染总人数上升为（x+1）人；前一天2个人感染，1天后感染总人数上升为（x+1）+（x+1）=2（x+1）人；前一天有a个人感染，1天后感染总人数上升为a（x+1）人；若前一天（x+1）个人感染，1天后感染总人数上升为（x+1）（x+1）=（x+1）2人.对于例1，1天后感染的总人数是（x+1）人，再过一天后感染总人数上升为（x+1）2人，即两天后的感染总人数；又过一天感染总人数上升为（x+1）3人，即三天后的感染总人数……；再过5天即7天后的感染总人数为（x+1）7人.

解：（1） 设平均每天一个人传染了x人，

由题意得：（x+1）2=9，

解这个方程，得：

x1=2，x2=-4（x2=-4不合题意，舍去）.

（2） （x+1）7=37=2 187（人）.

答：（1） 每天平均一个人传染了2人；（2） 再经过5天的传染后，这个地区一共将会有2187人患甲型H1N1流感.（可见传播力量的强大）

练练身手1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

二、 增长率问题

例2 （2015·甘肃兰州） 股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫作涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫作跌停.已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）.

A. （x+1）2=11/10 B. （x+1）2=10/9

C. 1+2x=11/10 D. 1+2x=10/9

【分析】本题的难点是跌停前的单价未知，而且单价经历了跌停，连续两次增长共三个阶段.我们可以假设跌停前的单价为单位1，则跌停后单价为9/10，即第一个阶段后的结果；增长1天后的单价为增长前的（x+1）倍，为9/10（1+x），即第二个阶段后的总结果；增长2天后是1天后的（x+1）倍，为9/10（x+1）2，即第三个阶段后的总结果.因此可得方程：9/10（x+1）2=1，方程两边同乘10/9得：（x+1）2=10/9.所以选B.

【点评】无论是流感传播问题还是增长率的问题，都可以理解为每过一天，数量将是前一天的（1+x）倍，若原始数量是a，则一天后总数量是a（1+x），两天后总数量是a（1+x）2，三天后总数量是a（1+x）3，……，n天后总数量是a（1+x）n，用乘积的形式表示若干天后的数量比用和的形式要简洁很多.

三、 利润问题

例3 百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8 000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？

【分析】上述问题中如果销售价按照单价50元的话，每个利润是10元，可以卖出500个，共可获利5 000元，无法完成利润8 000元的目标，所以只有改变单价并控制适当的单价，才可以完成获得利润8 000元的任务.设商品单价为（50+x）元，则每个商品得利润[（50+x）-40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少10x个，故销售量为（500-10x）个，根据每件商品的利润×件数=8 000，则应用（500-10x）·[（50+x）-40]=8 000.

解：设每个商品涨价x元，则销售价为（50+x）元，销售量为（500-10x）个，由题意得：（500-10x）·[（50+x）-40]=8 000，

整理得：x2-40x+300=0，

解得：x1=10，x2=30.

经检验x1=10，x2=30都符合题意.

当x=10时，50+x=60，500-10x=400；

当x=30时，50+x=80，500-10x=200.

答：要想赚8 000元，售价为60元或80元.若售价为60元，则进货量应为400个；若售价为80元，则进货量应为200个.

四、 面积问题

例4 一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖4条和2条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为9 600 m2，那么水渠应挖多宽？

【分析】这类问题的特点是，挖渠所占面积只与挖渠的条数和渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关. 为了研究问题方便可分别把东西和南北方向的渠道移动到一起（最好靠一边），如图（2）所示.那么剩余可耕的长方形土地的长为（162-2x） m，宽为（64-4x） m；

解：设水渠的宽为x m，由题意得：

（162-2x）（64-4x）=9 600，

解得：x1=1，x2=96（x2=96不合题意，舍去）.

答：水渠的宽为1 m.

练练身手2 （2015·四川自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地.求矩形的长和宽.

参考答案

练练身手1：

解：设每个支干长出x个小分支，则主干数量为1，支干数量为x，小分支数量为x2，由题意得：1+x+x2=91，

解得：x1=-10，x2=9（x1=-10不合题意，舍去）.

答：每个支干长出9个小分支.

【点评】本体是传播类的问题，但与例1甲型H1N1流感病毒的传播问题也有些许差别，流感传播者第一天传染后，第二天第三天还继续参与传播；而支干传播问题，主干传播给支干后，主干就不参与继续传播，只由支干来传播给小分支.

练练身手2：

解：设垂直于墙的一边为x米，由题意得：x（58-2x）=200，解得：x1=25，x2=4.

经检验x1=25，x2=4都符合题意.

∴另一边长为8米或50米.

答：当矩形的长为25米时宽为8米，当矩形的长为50米时宽为4米.

（作者单位：江苏省南京师范大学第二附属初级中学）