例说一元二次方程中的数学思想方法

丁建生

数学思想方法是学习的重点，也是解题的关键.《一元二次方程》中蕴含着许多思想方法，现举例说明.

一.转化思想

转化就是将复杂的、陌生的、未知的问题转变为简单的、熟悉的、已知的问题，使得问题顺利解决.

例1. 已知关于x的方程x -3x+m=0的一个根是-1，求m及另一个根.

分析：-1是方程的根，由根的定义，-1就满足了方程. 故将-1代入后，就转化为关于m的一元一次方程.

解：∵-1是方程x -3x+m=0的根

∴（-1） -3（-1）+m=0 ∴m=-4

把m=-4代入方程得 x -3x-4=0 解此方程得 x=-1， 4 故另一根是4.

反思：用方程根的定义，问题就转变成了m的方程；当求出m后，方程就具体化了，问题又转变成了解一元二次方程。当然求另一根时，还可用根与系数关系-1+x =3， 此时问题就变成了解简单的一元一次方程.事实上，数学学习中解决问题的过程就是不断将问题转化的过程.

二.分类讨论

分类讨论就是根据问题中的对象的差异，分别对各种不同的情况予以分析，从而将“大”问题分解为几个“小”问题去解决.

例2.已知关于x的方程x -2（k-1）x+k =0有两个实数根x 、x

（1）求k的取值范围

（2）若︱x +x ︱=x x -1，求k的值

解析：（1）由题意得△≥0

即[-2（k-1）] -4k ≥0，解得k≤

（2）解法一 依题意 x +x =2（k-1）， x x =k

以下分两种情况讨论

①当x +x ≥0时，则有x +x = x x -1

即2（k-1）= k -1 解得k =k =1

∵ k≤ ∴k =k =1不合题意，舍去

②当x +x <0时则有-（x +x ）= x x -1

即 -2（k-1）= k -1 解得 k =1，k = -3

∵ k≤ ∴ k = -3

综合 ①② 可得 k=-3

解法二： 依题意 x +x =2（k-1）

由（1）可知 k≤

∴2（k-1）<0 即x +x <0

∴ -2（k-1）= k -1

解得 k =1，k = -3

∵ k≤ ∴ k = -3

反思：本题（2）的解法一中为了去掉绝对值符号，需对绝对值号里面的式子的值的“+、-”进行讨论。若对题目“已知方程

kx -（2k+1）x+k-1=0有实数根，求k的取值范围”，则需对k=0或k≠0的两种情况进行讨论.

三.整体思想

整体思想就是指从问题整体性质出发，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成整体，使问题得到有目的的整体处理.

例3.（1）已知a、b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值是多少？

（2）若x1、x2是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，求x1 +x2 的值.

分析：如果直接求a、b或x1、x 的值，将其代入所求式子，则很繁琐。若根据方程根的定义和根与系数的关系进行整体代入，就方便些.

解：（1）∵a、b是方程x2-x-3=0的两个根，∴a -a-3=0 b -b-3=0

∴ a -a=3 b -b=3 及a =a+3

∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a·a +3a2-11a+

（b2 –b）+5=2a （a+3） +3a2-11a+3+5

=5（a -a）+8=23

（2） ∵ x1、x2是 x2+2x-6=0的两根

∴x +x =-2 x x =-6

∴ x1 +x =（x +x ） -2x x

=（-2） -2·（-6）=4+12+16

反思：对问题（1）的条件也可改为x- =1，其本质是一样的.但用它可迅速求出类似x + 等式子的值。对问题（2）我们可继续x +x 等式子的值.

四.方程思想

方程思想就是从问题的数量关系入手，将问题中的条件转化为方程问题，然后通过解方程（组）来使问题获解.

例4.（1）若关于x的一元二次方程x2-6x-m=0有两个相等实根，则m=

（2）已知关于x的一元二次方程x +（m-1）x-2m +m=0（m为实数）

有两个实数根x 、x

①当m为何值时，x ≠x ②若x +x =2，求m的值.

解：（1）∵方程x2-6x- m=0有两个相等实根 ∴△=（-6） +4m=0

∴m=-9

（2） ① 由 x ≠x ，得方程有两个不等实根，所以△>0

∴ △=（m-1） -4（-2m +m）=（3m-1） >0

∴ m≠

② ∵x +x =-（m-1）. x x =-2m +m x +x =2

∴（x +x ） -2 x x

=[-（m-1）] -2（-2m +m）=2

即 5m -4m-1=0 ∴m = - m =1

反思：两个等式△=0 ，x +x =2是建立方程的依据.所以，寻找并充分运用问题中的相等关系是方程思想的关键.

五.建模思想

数学建模就是构造数学模型的过程.是将实际问题抽象成数学问题，再继续将其变为方程、函数、不等式等问题.

例5 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元. 每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.

（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式.

（2）若生产第x档次的产品一天的利润为1120元，求该产品的质量档次.

解析：（1）因为第1档次的产品一天能生产95件，每件利润6元.每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件. 所以第x档次时，实际提高了x-1档，所以

y=[6+2（x-1）][95-5（x-1）]

即y=-10x +180x+400

（其中x是正整数，且1≤x≤10）

（2）由题意可得 -10x +180x+400=1120

整理得x -18x+72=0

所以 x =6 x =12（舍去）

反思：本题的背景是一个实际问题.在（1）中，根据条件，理清数量关系，建立了档次x与利润y间的函数模型；在（2）中，由利润的具体数值，形成了等量关系，建立了方程模型.建立模型的关键就是分析问题、转化问题，最终解决问题.

（作者单位：南师大第二附属初级中学）