认识错误 正确归因
2015-09-10陈朝晖
陈朝晖
很多同学在分析错题原因时往往归结为粗心，其实粗心只是表面现象。同学们一定要认真分析，对症下药，才能彻底解决问题。一元二次方程中常出现典型错误归纳分析如下：
一. 不注意定义、概念等文字中的条件，尤其是隐含条件.
1.忽视一元二次方程定义的条件.
例1.下列方程是一元二次方程的是
（1） x2+ +1=0 （2）2x（x+2）=2x2 （3） + =1
误解：（1）、（2）
分析：一元二次方程的定义中有三个要素：一元、二次、整式方程. （1）是分式方程， （2）化简后为4x=0 ，不含有二次项（3）误认为是分式.
正解：（3）
2.忽视一般式中的隐含条件.
一元二次方程的一般式是ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）.这里隐含了b、c可以等于0.由于对于定义理解不透彻，常常会出现下面的错误.
例2 （1）X2=0 和（ 2） ax2+bx+c=0是一元二次方程吗？
误解：（1）不是，（2）是
分析：（1）x2=0受一般式的影响，忽略了b、c可以为0， （2）没有条件a≠0
正解：（1）是一元二次方程。（2）不一定是
3.对条件“熟视无睹”.
例3.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是
误解：∵△=（-2）2-4k×（-1）=4+4k﹥0 ∴
k>-1
分析：没有考虑二次项系数k 0
正解：k>-1且k 0
例3、若关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0，则m的值等于多少？
误解：由题意得：m2-3m+2=0，解得：m1=1，m2=2.
分析：没有考虑二次项系数m-1 0，即m 1的条件.
正解：由题意得：m2-3m+2=0，
解得：m1=1，m2=2.又m-1 0，即m 1.
m=2
二.解题方法与策略失当.
1.解方程方法失当。
例3. 解方程
①（x-3）（x+1）=x-3， ②4（x-1）2-9=0
对①误解：两边同时除以（x-3）得
x+1=1， 得x=0.
分析：应该用因式分解法，错用了等式性质2.
正解：（x-3）（x+1）-（x-3）=0
（x-3）（x+1-1）=0
X1=3，x2=0
对②误解：把原方程化成一般式后用“公式法”甚至用“配方法”求解.
分析：根据方程特征，没有用“直接开平方法”
正解：∵（x-1）2=
∴x-1=± ，解得x1= ，x2=-
2.解题策略失当.
例4、已知方程x2+bx+c=0的两个根分别是（ +1）和 2-1），求b、c的值
误解：把两根分别代入原方程，再解关于b、c的方程组.
正解：根据根与系数的关系得-b= +1+ 2-1=2 得b=-2
C=（ +1） 2-1）=2-1=1
3. 数学思想欠缺
例5、三角形两边长是3和4，第三边长是方程x2-12x+35=0的根，则该三角形的周长为多少？
误解：解方程x2-12x+35=0得x1=5，x2=7.当x=5时周长=12，当x=7时周长=14
分析：缺少数形结合的思想，三角形的三边要满足任意两边之和大于第三边.
正解：解方程x2-12x+35=0得x1=5，x2=7.当x=5时周长=12，当x=7时不满足两边之和大于第三边，故舍去。所以周长为12.
例6.若关于x的方程（m2-1）x2+（m-1）x+ =0有实数解，求m的取值范围.
误解：∵方程有实数根∴△=（m-1）2-4（m2-1）× ≥0，解得m≤1
分析：没有分类讨论，综合求解。方程既可以是一元二次方程，也可能是一元一次方程.
正解：（1）当m2-1=0时m=±1.又m=1时方程不成立，∴m≠1；m=-1时，方程-2x+ =0为一元一次方程，有实数解，满足题意.
（2）当m2-1≠0即m≠±1时，方程为一元二次方程，∵方程有实根∴（m-1）2-4（m2-1）× ≥0，解得m≤1
又m≠±1，所以m<1且m≠-1.
综上所述，m的取值范围为m<1.
例7、关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则m的值是多少？
误解：由题意得：x1+x2=m，x1x2=2m-1∵x12+x22=7∴（x1+x2）2-2x1x2=7∴m2-4m-5=0
∴m1=5，m2=-1
分析：忽略了一元二次方程必须满足b2-4ac≥0才有实数根这一条件，对m没有讨论.
正解：由题意得：x1+x2=m，x1x2=2m-1∵x12+x22=7 ∴（x1+x2）2-2x1x2=7∴m2-4m-5=0∴m1=5，m2=-1 ∵当m=5时，b2-4ac=25-36=-11<0，舍去。当m=-1时，b2-4ac=1+12=13>0，满足题意，∴m=-1.
希望同学们能认真对待作业中的错误，正确分析错因， 努力提高练习的正确率.
（作者单位：南师大第二附属初级中学 ）
