傅里叶级数与傅里叶变换相互关系在两个公式推导中的应用

段凯宇 殷仕淑 付明 王松涛

摘 要： 傅里叶级数和傅里叶变换是傅里叶分析方法中两个最重要的基本概念，是其他傅里叶分析方法的理论基础.本文将傅里叶级数与傅里叶变换之间的相互关系应用于离散时间傅里叶逆变换和离散傅里叶级数的公式推导，使推导过程更简单、清晰，有助于理解和掌握傅里叶分析方法的相关内容.

关键词： 傅里叶级数 傅里叶变换 离散时间傅里叶逆变换 离散傅里叶级数 离散傅里叶变换

引言

傅里叶分析主要包括傅里叶级数（FS）、傅里叶变换（FT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散傅里叶级数（DFS）和离散傅里叶变换（DFT），其中FS和FT是基础.文献[1]从频域采样的角度对IDTFT和DFS的公式进行了推导.本文利用指数FS系数与FT的关系对IDTFT和DFS的公式进行推导，有助于更好地理解傅里叶分析方法之间的联系.

1.指数FS系数与FT的关系

设连续周期函数■（t）的周期为T，x（t）为■（t）的主值，■（t）的指数FS系数为X■，x（t）的FT为X（Ω），二者的关系为：

X■=■X（Ω）■

即周期信号的指数FS系数是其主值FT以Ω■=2π/T为间隔的采样值的1/T倍.

2.IDTFT公式证明

2.1文献[1]证明

设序列x（n）的长度为N，其DTFT为X（e■），文献[1]根据指数FS定义证明IDTFT公式：

FS[X（e■）]=■？蘩■■[■[x（m）e■]e■dω

=■■[x（m）·？蘩■■e■dω]

由指数函数的正交性，当m+n=0时上式不为0，即：

x（-n）=■？蘩■■X（e■）e■dω

x（n）=■？蘩■■X（e■）e■dω

2.2本文证明

X（e■）周期为2π，将X（e■）的公式做如下变形：

X（e■）=■x（n）e■=■x（-n）e■■ （1）

由式（1）可以看出x（-n）是X（e■）的指数FS系数，由指数FS系数与FT之间的关系：

x（-n）=■？蘩■■X（e■）e■dω■=■？蘩■■X（e■）e■dω

将上式中的n用-n代替，得证.文献[1]和本文都是通过证明X（e■）的指数FS系数是x（-n），进而得到IDTFT公式，但本文的方法更简洁明了.

3.DFS公式证明

3.1文献[1]证明

设周期序列■（n）的周期为N，其主值序列为x（n），文献[1]将■（k）当作X（e■）的单位冲激采样：

■（k）=X（e■）·■δ（ω-k■）

FS[■（k）]=■FS[X（e■）]*FT[■δ（ω-k■）]

=■x（-n）*■δ（n-lN）=■■（-n）（2）

从而有：

■（k）■·■■（-n）e■=■·■■（n）e■（3）

但式（3）的结论与DFS的公式不符，说明文献[1]推导过程有误.

3.2本文证明

设周期函数■（nT■）的周期T=NT■，由指数FS系数与FT之间的关系：

FS[■（n）]=■？蘩■■■（nT■）e■dt■=■■■（n）e■（4）

■（n）=■■[？笪■■（m）e■]e■=■■■（k）e■（5）

将式（4）中的系数1/N归入式（5），得DFS公式：

■（k）=■■（n）e■

可以证明在采样间隔为T■时，周期信号单位样值采样的指数FS系数是单位冲激采样的指数FS系数的T■倍，实际上■（k）是X（e■）的单位样值采样，采样间隔为2π/N，式（3）的2π/N倍恰为■（k），所以文献[1]的错误在于混淆了单位样值采样与单位冲激采样.

结语

本文利用指数FS系数和FT之间的关系推导了IDTFT、DFS的公式，分析了文献[1]推导过程的一个错误，与常用的推导方法相比更为简单和易于理解，加深了对指数FS系数和FT相互关系的认识，强化了傅里叶分析方法中主要公式、概念之间的联系.

参考文献：

[1]李相国，粱义涛，李红岩.离散傅里叶级数的抽样定理解释[J].南京：电气电子教学学报，2012，36（6）：115-117.

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安徽财经大学教研项目（acjyyb2014107）