由表及里方能表里如一

陆雅

一、缘起

2011年版数学课程标准把“数学思考”列入四大目标之中。而“数学思考”与“数学表达”是相依相存的。从认知心理学的角度看，“数学思考”就是学习者对知识、问题的内部表征。“数学表达”则是学习者对知识、问题的外部表征。

美国2000年颁布的数学课程标准中明确地将“数学表示”作为十条标准之一，该标准对“数学表示”明确提出：数学教学应该重视数学表示，以促进对于数学的理解，使全体学生能够———

创造和应用数学表示来组织、记录和交流数学思想；

恰当地选择和运用数学表示来解决问题；

运用数学表示对物理、社会和数学的现象进行建模与解释。

由此不难分析出“表征”的重要价值：简化问题使问题可解、暴露思维过程便于交流和研究、发现规律解决问题。

研究学生的思维表征形式与能力水平，是教学设计的重要组成部分，是走向有效教学的正确途径。

我们选择“表内除法”这一内容进行研究，是因为计算教学尤其是基本口算教学是学生进一步学习必备的知识技能。随着数学课程目标从“双基”向“四基”转变，口算教学也承载起实现显性目标和隐性目标的重任，体现更丰厚的教学价值。而实际教学中，学生学习途径日益扩展， “未教先会”的不在少数。那么对于除法及口诀求商，学生已经会了什么？他们了解除法算式的意义吗？他们对求商有哪些自己的表征形式？学习的困难在哪里？带着这些问题，我们对二年级5个班级216名学生展开了测查。

二、测查

测查的时间节点放在二年级上册教学完成之后，在“表内除法（一）”教学之前。主要测查学生对除法含义的理解程度和口诀求商思维的表征形式。

【测查题目】

这样的算式，你是怎么想的？可以把你的想法写一写、画一画。

6÷2=（ ） 20÷5=（ ）

经统计，不同表征形式的比重差异很大。图形表征是学生采用最多的方式，超过25%；其次是算式表征，超过13%；有超过8%的学生采用两种及以上的表征方式；运用实物表征和文字表征的学生分别只有4%左右（见表1）。

有研究者将知识的主要表征方式总结为书面符号表征、图形表征、情境表征、操作模式表征、语言表征等，而这一系列的表征方式共同构成了表征系统，它们之间不一定存在先后的发展次序，但需要关注的是它们之间的转换和相互影响（如图1），而且，这种转换和影响对学生的概念形成和理解有重要的作用。一般地，操作模式表征和实际生活情境表征属于形象表征，图形表征属于半抽象表征，文字符号表征和口语符号表征属于抽象表征。

在认知心理学理论的指导下，结合二年级学生的实际情况，我们把除法及口诀求商的表征形式，分成行为表征、实物（图）表征、图形（表）表征、文字符号表征和混合表征这五种。行为表征是指用摆、分、画、圈等具体操作活动进行理解的表征形式。实物（图）表征是指用苹果、草莓、盘子等实物（图）形式进行数学解释。用圆、三角形等几何图形说明或者以图表方式说明的称为图形（表）表征。而像“除法就是乘法倒过来”等这样以语言文字描述的称为文字表征，以乘法或除法算式表示的称为算式表征，算式表征和语言文字表征统称为文字符号表征。运用两种（及以上）形式进行表征的称为混合表征。

在对学生的材料进行分类时，由于书面测查的局限性，我们无法清楚准确地判定行为表征。或者说，行为表征总是伴随着其他表征形式。因此，我们没有单独统计行为表征。而文字表征和算式表征虽同属于文字符号表征，但是在思维层面上存在差异性，对此我们分别进行了统计。

当然，同一种表征形式，有正确表征和错误表征之分。我们认为，口诀求商正确表征应该能反映两点：一是除法的含义；二是除法运算的意义。

口诀求商思维的表征形式，实质上反映了学生对除法含义的理解。除法是数学中的基本运算之一，等分除和包含除是除法的两种含义。将一个数等分成若干份，求每一份是多少的算法称为等分除法，即先确定等分的份数，再确定每份数（见图2）。求一个数里包含着多少个另一个数，即求一个大数是一个小数的多少倍的算法称为包含除法（只有在大数能被小数整除时才有意义），亦即先确定每份是多少，再确定有这样的几份（见图3）。

除法运算的意义是相对乘法提出的，即已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。除法是乘法的逆运算，因此，想乘算除，具体地说，就是以乘法算式、乘法口诀和乘法的意义表征除法求商，是符合逻辑的思维形式。除此之外的表征是错误表征。

我们分别对两道算式的正确表征率进行统计（见图4、图5）。

测查结果统计，两道算式的正确表征率均接近50%，其中6÷2的正确表征率略高于20÷5。

测查统计给我们的信息是：将近50%的学生已经有关于除法的初步概念，甚至是上位知识（即除法学习的后续知识），比如有一个学生提到“倍”的概念，有两个学生列出除法竖式。并且，学生对于除法及求商的表征形式是多样的，反映出他们对除法的含义认识基础是十分复杂的，除法求商的策略不是唯一的。这些都是我们需要进一步分析的真实的学情。

三、分析

我们可以肯定，二年级学生的思维表征水平处于形象表征和半抽象表征水平。（需要注意：超过50%的学生对测查题无法正确表征）在一系列的正确表征和错误表征背后，学生的思维水平呈现出一定的梯度。

结合对部分学生访谈，我们试对学生学习除法前口诀求商思维水平进行分层。

水平1：无意义水平。处于这一水平的学生作业表现为无意义的图形或算式，包括空白无填写（如图6）。

笔者对该学生的访谈如下：

笔者：你的图很有意思，能说说表示什么吗？

生：嗯……不知道……我不会。

该水平的学生还没有除法的初步概念，不认识除法，或者听说过但完全不理解。

水平2：负迁移水平。处于这一水平的学生作业表现为受到以往所学知识包括形式上和意义上的消极影响（如图7）。

笔者对该学生的访谈如下：

笔者：你的图很有意思，能说说表示什么吗？

生：我本来是想画4个的，看到同桌画了3个，就改了。

笔者：你想把6分成4和2，对吗？

生：是的。

笔者：把6分成4和2，可以用什么方法？

生：减法。

笔者：那这种运算方法你见过吗？

生：这是除法，我不知道怎么算。

该水平的学生受到减法运算的影响，类似地，还有把除法理解成乘法，把6÷2理解成6个2相加的。他们试图把新知纳入已有的知识结构，根据以往的学习经验来解决问题。

水平3：平均分水平。处于这一水平的学生作业表现为具有“平均分”的概念（见图8、图9）。

该水平的学生有初步的平均分的想法，但不会表达，还未形成完整的认识，也没有形成除法的正确认知。

水平4：上位解释水平。处于这一水平的学生作业表现为用后续的知识解释除法运算（见图10、图11）。

笔者对该学生的访谈如下：

笔者：你写得很特别，是什么？

生：这是竖式。就是四五二十，然后再四五二十，20减20就是0。所以20÷5=4。

笔者：你能用口诀来计算除法，很棒！你刚才说了两次四五二十，为什么？

生（想了一会儿）：就是这样算的，说不清楚。

还有学生用“倍”解释。笔者对该学生的访谈如下：

笔者：你用不同的方法计算，真好！ “2的3倍是6”，是什么意思？

生：就是2×3=6，2个3是6。

笔者（出示图12）：这幅图你怎么想？

生：三角形有3个，圆有6个，三角形比圆少3个。嗯，有3个3。

该水平的学生已经接触除法的上位数学知识，并在形式上进行接受和理解。但实质上，对深层的意义理解是不到位的。同时，对除法的理解也是不到位的。

水平5：乘除联系型水平。处于这一水平的学生作业表现为用乘法（尤其是乘法算式）计算除法（见图13），也有部分学生用文字描述“我知道乘法就像除法反了一下”“把乘法倒过来就是除法”等等。

该水平的学生对乘除这两种互逆的运算有一种自发的敏感性，初步理解两种运算的关系。他们从联系的角度来思考除法求商，体现了对除法运算的意义“已知两数之积和其中一个因数，求另一个因数的运算”的初步感知。

水平6：意义解释型水平。处于这一水平的学生作业表现为用除法“分”的含义表征口诀求商的过程（见图14、图15）。

该水平的学生是从“平均分”的角度来思考问题并加以表征解释的。图14和图15分别是等分除和包含除的典型作品。通过访谈，这部分学生能清楚、准确地表述自己所画图意。如画图14的学生认为“6÷2就是把6个圆平均分成2份，每份是3个圆”。画图15的学生认为“6÷2就是把6个苹果，2个2个地分，分成3盘”。但是这一水平的学生还无法把两种含义用同一个算式表示，如画图14的学生认为应该用6÷3=2来表示图15。

水平7：概念理解型水平。处于这一水平的学生作业表现为用多种表征形式理解除法求商的过程，并能理解同一个算式可以有不同的表征和解释（见图16）。

笔者对该学生的访谈如下：

笔者：你画的图很有趣，话说得很清楚。你看看这个小朋友画的（图17），你觉得他画得对吗？

生：他画得对。他把6分成2个3，就是要把6个苹果分成2份，每份就是3个苹果。

笔者：和你画的图比较一下。

生：我是2个2个地分，分成3份。他是分成2份，每份就是3个。

笔者：这两个“2”表示的意思一样吗？

生：不一样。他是有2份，我是每份有2个。

生：我知道了，乘法可以画出两幅图，除法也可以。

该水平的学生对除法的两种含义区分清楚，明确每份数和份数的不同。并且能和乘法沟通联系。他们具有在形象表征、半抽象表征和抽象表征之间自由转换的能力。

由于笔者的水平和访谈面有限，我们把学习除法前口诀求商思维水平分为七个层次。前四个层次是错误表征水平，后三个层次是正确表征水平。不同的思维表征水平，既是教师教学的丰富资源，或许也会成为学生学习新知的牵绊，需要我们教师挖掘、组织，以利于进一步的有效学习。

四、建议

（一）从行为表征、实物（图）表征、图形（表）表征到文字符号表征是学生理解除法含义的一般途径和必然过程

上述行文中我们探究了学生除法求商的思维表征形式和水平层次。那么现行教材是如何编排的？是否体现了学生概念形成的规律性？我们以人教版、苏教版、北师大版3个版本的教材为例，整理了例题中关于除法及口诀求商的表征形式出现的次数百分比（见图18），并整理了习题中相应表征形式的题数百分比（见图19）。人教版和苏教版这一单元中没有教学“倍”的认识，而北师大版加入了“倍”的内容。为便于比较，北师大版有关“倍”的例题和习题均未列入统计。（事实上，大多数题都是几种表征形式混合的。统计时，我们以“偏向于哪种表征形式”为标准，比如把图片分一分，我们归到行为表征）

二年级学生的思维处于形象思维阶段，教材例题中安排了大量的行为表征形式，让学生动手分一分、摆一摆、圈一圈、画一画，在实践活动中，形成丰富的表象，充分积累活动经验，逐步抽象出除法的含义。相比较，北师大版重视半抽象表征的过程，有超过20%的图形表征形式，尤其是运用了不少图表。而苏教版的图形表征都结合着行为表征，因此行为表征的次数百分比最高。

在习题编制上，苏教版和北师大版中实物（图）表征的题数百分比较高，而人教版文字符号表征的题数百分比远高于其他表征形式。可见，北师大版突出形象表征，人教版更关注文字符号表征。

从前文实际测查结果看，只有4%的学生采用实物（图）表征形式，而图形（表）表征、文字表征和算式表征的百分比远高于此。我们建议，教学中可以适当加快实物（图）表征频率，适当加强对半抽象的图形（表）表征的理解。

（二）因思维表征形式和水平层次的不同实施分层教学

数学表征能力与问题解决的正相关已经得到证实。如何提升学生的表征能力和思维水平？我们建议分层教学。分层教学包括两个层面：一是课时分层，即每一课时有侧重；二是课堂分层，在一堂课的教学中关注学生的不同起点，使不同的学生都能获得良好的发展。

1.课时分层，用3个新授课时完成教学

第一课时“分一分”，在大量的操作活动中知道有不同的分法：先确定分成几份，或者先确定每份几个。通过观察比较明确“平均分”的概念。可以请思维水平层次高的学生做“小老师”，协助思维水平层次低的学生。这一阶段以行为表征为主。

第二课时“认识除法”，理解“每份一样多，分成几份”这样的过程和结果可以用除法算式表示。接下来出示除法算式，让学生用不同形式的表征，进一步理解“等分除”与“包含除”的含义。这一阶段以图形（表）表征为主。

第三课时“口诀求商”。在前两课时的基础上，学生理解除法的含义，可以将落脚点放在“求商”上，引导学生掌握“求商”的方法，再突出乘法口诀的价值。数学是研究关系的学科，“求商”教学可突出除法与减法、除法与乘法的关系。这一阶段引导学生以文字符号表征为主。

2.课堂分层：对不同思维水平的学生进行相应的训练

对处于水平7的学生要提高其对除法含义的理解和口诀求商灵活应用能力，在理解中重视表征形式的转换，用不同的表征形式内化知识、深化理解。比如，在习题中可以增加类似这样的题目：写一写除法算式12÷3所表示的意义；编一道可以用12÷3解决的生活问题；用一幅图编乘除法三道题等。这样的题目可以考查学生对乘除关系的理解程度，也有助于学生辨别等分除与包含除的不同意义，加深对除法含义的真正理解。同时，积累解决问题的经验。

对处于水平5和水平6的学生，可以加快从形象表征到半抽象表征的过渡。鼓励他们用多种形式进行表征，达到对知识的理解和应用。在教学中，引导他们从不同的角度看同一幅图，细化等分除和包含除的异同之处，感悟、体会除法的两种含义。增加辨析等分除和包含除的练习，比如通过解决问题进行对比，还可指导学生把除的方法和结果用具体形象区分开来。如：①把18平均分成3份，每份是多少？②18里面有几个3？分别让学生先用小棒摆，再用算式表示。

对处于水平1至水平4的学生，要在行为表征阶段反复操练，通过大量的动手操作，逐渐形成对除法含义的认识。避免乘法和减法的负迁移影响。可以在包含除的具体操作中，体会除法是同数连减，感悟除法与减法的关系，以区别一步减法。反复明确乘除互逆的关系，要适当增加类似于这样的练习：根据一幅图，写出一道乘法算式和两道除法算式；根据一句口诀，写出三道乘除法算式；把同数连加写成乘法，把同数连减写成除法等。从而达到理解用口诀求商的目标，能比较熟练地应用口诀求商。

从下面这个“口诀求商”的教学片段，我们可以看到教师是如何遵循起点、发展思维的。

师：今天我们来研究怎样求商。（出示8÷2，很多学生报出了结果，商是4）

师：怎么想的？

生：我想到 2×4=8，所以8÷2=4。

生：二四得八，所以 8÷2=4。

生：除法就是将乘法倒过来了。

（继续出示几道除法算式，学生报出商）

师（出示12÷3）：我们知道乘法和加法有联系，加法和减法有联系，你觉得除法和谁有联系呢？

生：和乘法有联系。

生：用乘法口诀可以算出得数。

师：除法还和谁有关系呢？

生：和减法有关系，就是从12里将3分出去，一直分到没有。

师：（顺势画图）我帮你在图上表示出来。先找到 12，然后从12里分3，一直分到没有。你是怎么找到商的？

生：减去了几次，商就是几。

师：讲得非常好。我们还可以用减法直接来算。（板书：12-3=9，9-3=6，6-3=3，3-3=0）一直减到不能减了，减了4次，12里有4个3，12÷3=4。请听明白的学生再举个例子，如12÷4，用减法求出商。

教师又出示了88÷11，无法用口诀口算，检验学生是否会自己求出商。解决问题过程中学生对求商有了初步的认识。

师：（回顾）现在你会求商了吗？

师：觉得哪种方法好？

生：用乘法口诀求商很快，用减法太麻烦了。

生：乘法口诀要记熟了，求商就快了。

生：如果数字不太大，我们可以用减法算，看被除数里有多少个除数，商就是多少。

（三）理性对待学生已有知识经验和认知起点

数学教学最有效的方法是把握学生已经知道了什么，同时把握新知是以哪些旧知为基础，是哪些旧知的拓展和延伸。但是我们不得不承认，学生的学习越过我们的教学，是一件棘手的事情。

测查中出现了两个除法算式，一个是正确的（见图10），一个是错误的（见图20）。前者从父母处得知除法竖式中的正确列法，而后者是学生自己从加法、减法竖式中推理得出。前者会列除法竖式，但无法解释为什么这样列竖式。也就是说，这个学生把握了“形”，但没有抓住“本”。我们很难界定前者的学习必定优于后者。而且我们有理由这样推测：前者进行了大量的接受性学习， 而后者却是在自主探索的过程中。

又如关于“倍”的认识，学生能明白“2的3倍是6”与2×3=6的关系。但是我们发现，学生对于倍的认识是不完整的。他们虽然从数量上把握了“倍”的大小，却没有“比”的概念。我们常说“倍比”，也就是说“倍”的概念是在“两个量”的比较中发生的。

诸如此类，都提醒我们，要慎重地、理性地对待学生已有的知识经验和认知起点。

五、结语

综上所述，学生在学习除法前口诀求商的表征形式十分丰富，而相应地，教材也遵循学生概念形成的一般规律，采取多样的表征形式。数学表征的过程可以看成是数学化的过程，就是学会表征并应用表征解决问题，荷兰数学家弗兰登塔尔认为“与其说学习数学，不如说学习数学化”。数学表征可以使隐性的思维外显，暴露学生的思维过程，便于交流和研究、发现规律解决问题。由表及里，方能表里如一，从而走向深层次的学习。而在教师教学层面，我们应认识到学生的思维水平存在层次性，从而理性地把握学习起点，促使学习真正的发生！

（注：作者系朱乐平名师工作室成员）

（浙江省宁波市镇海区炼化小学 315207）