盘点中考中的二次函数系数与图像的关系
2015-09-10李建婷
李建婷
二次函数是初中阶段学习的重要内容之一，在中考命题中，由二次函数的图像确定其待定系数及系数组成的代数式的符号，或由二次函数的系数符号判断函数图像等都是考试热点.命题常以客观题形式出现，这类考题不仅能较为全面地考查同学们对知识的理解掌握情况，还考查同学们运用知识分析问题解决问题的能力.
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与系数的关系：
（1） 开口方向：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下，a越大，开口越小.
（2） 对称轴：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号（即ab>0）时，对称轴在y轴左侧；当a与b异号（即ab<0）时，对称轴在y轴右侧.简单说：“左同右异”.
（3） 与y轴的关系：常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0，c），当c>0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c<0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上；当c=0时，抛物线恰好经过原点.
（4） 与x轴的关系：抛物线与x轴交点个数由Δ决定.当Δ=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴只有一个交点；当Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.
（5） 确定am2+bm+c的符号：关键是抛物线上横坐标为m的点P的位置情况.当点P在x轴上方时，am2+bm+c>0；当点P在x轴下方时，am2+bm+c<0；当点P在x轴上时，am2+bm+c=0.
一、 由二次函数的图像考查系数及系数组成的代数式的符号
例1 （2015·广东深圳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图1所示，下列说法：①a>0；②b>0；③c<0；④b2-4ac>0，正确的个数是（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解析】∵抛物线的开口向下，∴a<0，故说法①错误；
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴- >0， 即b>0，故说法②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，故说法③错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac>0，故说法④正确.
综上所述，正确的说法是②④.因此选B.
二、 由二次函数的图像考查点与对称轴的关系
例2 （2015·湖北恩施）如图2是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分，图像过点A（-3，0），对称轴为直线x=-1，给出四个结论：①b2>4ac；②2a+b=0；③a+b+c>0；④若点B- ，y1、C- ，y2为函数图像上的两点，则y1 A. ②④ B. ①④ C. ①③ D. ②③ 【解析】∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac>0，即b2>4ac，故①正确； ∵对称轴为直线x=-1， ∴x=- =-1， ∴2a-b=0，故②错误； ∵图像过点A（-3，0），对称轴为直线x=-1， ∴图像与x轴的另一交点为（1，0）， 即当x=1时，y=0， ∴a+b+c=0，故③错误； 由图像可知：抛物线开口向下，当x=-1时，函数有最大值，点B- ，y1、C- ，y2为函数图像上的两点且C点距离对称轴较近，∴y1 【点评】此题考查二次函数对称轴的性质，解答本题关键是掌握二次函数根的判别式，会利用对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理. 三、 由二次函数的图像考查系数符号及其与二次方程之间的关系 例3 （2015·广西南宁）如图3，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-1，下列结论中：①ab>0；②a+b+c>0；③当-2 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【解析】∵抛物线的开口向上， ∴a>0， ∵对称轴在y轴的左侧， ∴- <0，∴b>0， ∴ab>0，故①正确； 观察图像知：当x=1时，y=a+b+c>0，故②正确； ∵抛物线的对称轴为x=-1，与x轴交于（0，0），∴另一个交点为（-2，0）， ∴当-2 因此选D. 【点评】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围确定2a与b的符号，以及二次函数与二次方程之间的转换. 四、 考查由二次函数的系数确定图像中的定点 例4 （2014·甘肃白银）二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图像一定过点（ ）. A. （-1，-1） B. （1，-1） C. （-1，1） D. （1，1） 【解析】由b+c=0，得c=-b，代入二次函数，变形得y=x2+b（x-1），若图像一定过某点，则与b无关，当x=1时，二次函数为y=x2，与b无关，此时y=1，因此它的图像一定过点（1，1）.选D. 【点评】本题考查了二次函数图像与系数的关系，在这里求定点问题，应把b当作变量，令其系数为0进行求解. 五、 考查由二次函数的系数符号确定相关的图像 例5 （2015·辽宁锦州）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图像可能是（ ）. 【解析】根据一次函数和二次函数的解析式可得直线与y轴的交点为（0，2），抛物线的开口向上. 解法一：从解析式的系数入手： ①若a<0，抛物线的顶点在y轴负半轴上，直线经过一、二、四象限； ②若a>0，抛物线的顶点在y轴正半轴上，直线经过一、二、三象限. 因此选C. 解法二：从函数图像入手： 选项B中的图像抛物线开口向下，产生错误，排除B；选项D中的图像，直线与y轴交点在负半轴上，产生错误，排除D；选项A中的图像，因为直线上升，所以a>0，但是抛物线的顶点在y轴负半轴上，所以a<0，产生矛盾，排除A. 因此选C. 【点评】与二次函数相关的图像的确定，一般采用以下两种方法：（1） 从函数关系式入手，确定其中一个关系式系数符号，当它的正负不确定时，要进行分类讨论，或逐一比较各个关系式中相同的系数，判断其在同一坐标系中是否矛盾；（2） 从图像入手，依据在同一坐标系中各个图像的位置，判断各个关系式中相同的系数符号是否矛盾.即由数找形或由形定数. 六、 由图表构建图像考查二次函数性质的综合运用 例6 （2014·山东泰安）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： 下列结论：①ac<0；②当x>1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax2+（b-1）·x+c=0的一个根；④当-1 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【解析】由图表中数据描出图像（如图4），可得出：抛物线开口向下，∴a<0， 又x=0时，y=3，∴c=3>0， ∴ac<0，故①正确； ∵抛物线开口向下，且对称轴为x= =1.5，∴当x>1.5时，y的值随x值的增大而减小，故②错误； ∵当x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3， ∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0， ∴3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，故③正确； ∵当x=-1时，ax2+bx+c=-1， ∴当x=-1时，ax2+（b-1）x+c=0， ∵当x=3时，ax2+（b-1）x+c=0，且函数有最大值， ∴当-1 因此选B. 【点评】数形结合是研究二次函数最常用的方法，把图表信息转化为图像信息能更直观地发现其所具有的性质，更好地分析解决问题. 小试身手 1. 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图像如图5，则下列结论：①4ac-b2<0；②2a-b=0；③a+b+c<0；④点M（x1，y1）、N（x2，y2）在抛物线上，若x1 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图6，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-1，且过点 ，0，有下列结论：①abc>0；②a-2b+4c=0；③25a-10b+4c=0；④3b+2c>0；⑤a-b≥m（am-b）.其中所有正确的结论是________.（填写正确结论的序号） 答案： 1. C 2. ①③⑤ （作者单位：江苏省南京师范大学附属中学江宁分校）
