相似图形中的数学思维方式

马国建

不少同学升入初中后不适应初中的数学学习，普遍感到上课老师讲的知识能听懂、能学会，就是课后不会做题、找不到解题方法.

这就需要我们必须重视数学思维方法的学习，诸如分类讨论、方程思想、数形结合、归纳猜想、反证法等，通过数学方法的学习使数学和生活中的一些问题可以类比成为“可以理解的”“可以学到手的”一些题型，从而建立有效的数学模型，以思想方法的分析带动具体知识的学习.

一、 对应点对应边的思维方式

例1 如图1，点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长.

【解析】在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A.

∴△ABD∽△ACB，∴ = ，

∵AB=6，AD=4，

∴AC=9，则CD=AC-AD=9-4=5.

【点评】数学是一门具有较强的系统性和逻辑性的学科.数学本身的知识间的内在联系是很紧密的，各部分知识都不是孤立的，而是一个结构严密的整体.由于全等图形是特殊的相似图形，只是在形状相同的基础上规定了大小也相等，所以形状相同就有对应边之比相等，那么我们可以类比到相似图形应该具备这个特征，从而实现用相似三角形对应边之比相等的思维方式解题.

二、 分类的思维方式

例2 如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【解析】∵AB⊥BC，∴∠B=90°.

∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠B=90°，

∴∠PAD=∠PBC=90°.

AB=8，AD=3，BC=4，

设AP的长为x，则BP长为8-x.

若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：

①若△APD∽△BPC，则 = ，即 = ，解得x= ；

②若△APD∽△BCP，则 = ，即 = ，解得x=2或x=6.

∴满足条件的点P的个数是3个，故选C.

【点评】两个三角形相似，但是不知道是哪些对应边之比相等，这个时候就应该用分类的思想方法进行分类讨论，但要做到利用科学的分类标准，从而达到不重复不遗漏的目的.

三、 方程的思维方式

例3 如图3，若 = = .（1） △ABC与△ADE的周长和为40 cm，求△ABC的周长；（2） 四边形BDEC的面积为80 cm2，求△ADE的面积.

【解析】设△ABC的周长为x cm，△ADE的周长为y cm.

因为 = = ，∠A=∠A，

所以△ABC∽△ADE，相似比k= ，

根据题意，得 = ，x+y=40，

解这个方程组，得x=15，y=25.

（2） 设△ABC的面积为S1平方厘米，△ADE的面积为S2平方厘米.

根据相似三角形性质，有 = ，S2-S1=80，

解这个方程组，得S1=45，S2=125.

【点评】该题利用相似三角形的知识，不失时机地构造方程模型，再用方程或方程组的有关原理解决问题.方程的思维方式是将图形中的数量关系转换为方程加以解决.方程思维方式在数学中占有非常重要的地位，在数学解题中所占的比例较大，综合性广，题型多，应用灵活，特别是在利用三角形的相似进行有关的计算时，我们通常构造方程模型来求解.

（作者单位：江苏省常州市金坛区第五中学）