“旋转型”相似的解题策略探究

王国俊

“旋转型”相似是两个三角形相似常见的基本图形之一，本文对教材的例题、习题加以整合，让我们一起来探索“旋转型”相似常见的解题策略.

【引例】如图1，△ABD与△CBE中，已知∠1=∠2，要使△ABD与△CBE相似，还需添加什么条件？

【分析】△ABD与△CBE有公共顶点B， △ABD可看成把△CBE绕点B旋转某一角度，按一定比例缩放而形成的，这类基本图形我们称之为旋转型相似，已知一组角对应相等，只需再添加一对角，或这对角的两边对应成比例.

解：可添加∠A=∠C或∠D=∠E或 = .

【拓展1】如图2，△ABD与△CBE中，已知∠1=∠2，∠3=∠4，△DBE与△ABC相似吗？为什么？

【分析】本题在引例的基础上略有延伸，可以看出引例的基本图形仍然存在，易证得△ABD∽△CBE，二者为旋转型相似.△DBE与△ABC有公共顶点B，在公共顶点处的∠DBE与∠ABC可证得相等，只要再证一对角相等或夹∠DBE的两边和夹∠ABC的两边成比例，而夹∠DBE的两边和夹∠ABC的两边就是△ABD与△CBE的两组对应边.

解：∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴△CBE∽△ABD，（两角分别相等的两三角形相似）

∴ = .（相似三角形的对应边成比例）

又∵∠1=∠2，∴∠DBE=∠ABC，

在△DBE与△ABC中，

∵ = 且∠DBE=∠ABC，

∴△DBE∽△ABC.（两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似）

【点评】利用旋转型相似得出公共顶点处对应边成比例，最后证得新三角形相似.

【拓展2】如图3，在直角三角形ABC中，∠A=30°，将其绕直角顶点C逆时针旋转一定角度得到Rt△A′B′C，在旋转的过程中，边A′C与边AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE. 设AD=x，BE=y，求y与x之间的函数关系式.

【分析】本题虽然是△ABC绕点C旋转，亦可以看作是△DEC绕点C旋转，不难判断△DEC和△ABC是旋转型相似，则由△DEC和△ABC相似易证△CEB和△CDA相似，再由相似三角形的对应边成比例即可得y与x之间的函数关系式.

解：由题意得∠ECD=∠BCA， ∠A=∠A′，

∵DE∥A′B′，∴∠CDE=∠A′，

∴∠CDE=∠A.

又∵∠ECD=∠BCA，∴△DEC∽△ABC，

∴ = .

∵∠DCE=∠ACB，∴∠BCE=∠ACD.

∵ = 且∠BCE=∠ACD，

∴△BCE∽△ACD，∴ = .

∵∠A=30°，

∴ = = ，∴y= x.

【点评】求线段之间的函数关系式常常利用相似三角形的对应边成比例来解决.

【拓展3】如图4，矩形CEFG和矩形ABCD有公共顶点C，并且矩形CEFG∽矩形CDAB，连接BG、DE，交点为O，BG与边CD相交于点H，判断BG和DE的位置关系并说明理由.

【分析】判断BG和DE的位置关系可以从角入手.本题中存在旋转型相似矩形，则可以证得△BCG与△DCE相似，根据相似三角形的对应角相等，可以得到∠CBG=∠CDE，如此则易证∠CDE+∠DHO=90°.

解：∵矩形CEFG～矩形CDAB，

∴∠BCD=∠GCE=90°， = ，

∴∠BCG=∠DCE.

在△BCG与△DCE中，

∵ = 且∠BCG=∠DCE，

∴△BCG∽△DCE，

∴∠CBG=∠CDE，

又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，

∴∠CDE+∠DHO=90°，

∴∠DOH=90°，∴BG⊥DE.

【点评】本题条件变成了矩形相似，根据相似的性质仍然可得对应边成比例，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明新三角形相似，然后可根据相似三角形的对应角相等解决角的关系.

【总结】旋转型相似往往会出现两次相似的证明，两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似是旋转型相似第二次相似中常用的证明方法之一，审题的关键是抓住公共点处的对应角和对应边，此类问题的第二次相似常利用由旋转型相似证得的对应边成比例.可以归纳成：旋转型两三角形相似→对应边成比例→新三角形的两边对应成比例及夹角相等→新三角形相似→新三角形的对应边成比例或对应角相等解决问题.

（作者单位：江苏省常州市金坛区直溪初级中学）