运筹帷幄 决胜千里
2015-09-10陈志军
陈志军
概率是初中数学的重要学习内容，其多与实际生活紧密联系在一起.概率问题的探究旨在让同学们在解题的过程中初步感受概率的思想，进而体验概率在进行决策时的重要作用.掌握概率的计算方法和用列表法和树状图法求概率是学好概率的关键，因此学习时应注意掌握以下几个要点.
一、 概率的计算方法
等可能条件下的概率的计算方法：P（A）= （其中m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示一次试验所有等可能出现的结果数）.
（1） 在P（A）= 中，由m和n的含义可知0≤m≤n，进而0≤ ≤1，因此0≤P（A）≤1.
（2） 特别的：①当A为必然事件时，P（A）=1；②当A为不可能事件时，P（A）=0.
例1 在一个不透明的布袋中装有2个白球和3个黄球共5个球，每个球除颜色不同外，其余均相同.从袋子中任意摸出一个球.
（1） P（摸到白球）=_______________，
P（摸到黄球）=_______________，
P（摸到红球）=_______________，
P（摸到白球或黄球）=_________；
（2） P（摸到白球）_______P（摸到黄球）.（填“>”“<”或“=”）
【解析】所有可能出现的结果：1号球、2号球、3号球、4号球、5号球，摸到白球可能出现的结果：1号球、2号球，摸到黄球可能出现的结果：3号球、4号球、5号球.
解：（1） P（摸到白球）= ，
P（摸到黄球）= ，
P（摸到红球）=0，
P（摸到白球或黄球）= + =1；
（2） P（摸到白球）
二、 用列表法和树状图法求概率
列表法和树状图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果.
（1） 当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率.列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率.
（2） 当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法.树状图法一般是选定一个元素和其他元素分别组合，依次列出，像树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n.
（3） 当只有两个元素时，可用树状图法列举，也可用列表法列举.
例2 连续掷一枚均匀的骰子，第一次正面朝上的点数作为点P的横坐标，第二次正面朝上的点数作为点P的纵坐标，则点P落在直线y=2x上的概率为_______.
【解析】将一枚骰子连续抛掷两次，一共有36种不同结果，每种结果都是等可能的，其中纵坐标是横坐标2倍的有（1，2），（2，4），（3，6）共3种.
解：连续掷两次骰子出现的可能列表如下：
由表格可知共有36种可能，因为纵坐标是横坐标2倍的有3种，所以点P落在直线y=2x上的概率为 .
例3 在一个不透明的口袋里装有3个小球，其中有2个红球和1个白球，搅匀后从中摸出一个球，记下第一个球的颜色，将它放回后搅匀再摸出第二个球，求下列各事件的概率：（1） 都是红球；（2） 都是白球；（3） 一红一白.
【解析】此题要分两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单.解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于放回实验，列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可.
解：画树状图如下：
共有9个等可能的结果，其中都是红球的有4种情况，都是白球有1种情况，一红一白的有4种情况.
∴P（都是红球）= ；P（都是白球）= ；P（一红一白）= .
三、 面积和概率问题
一般地，设试验结果落在某个区域S中每一点的机会均等，用A表示“试验结果落在S中的一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为：P（A）= .解决这类问题的关键在于计算各个区域的面积在整个区域的面积所占的比例.
注意：图形可以是规则的，也可以是不规则的，只要知道各部分占总体面积的比即可.
例4 如图1，一个转盘被分成7个相同的扇形，颜色分别为红黄绿三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），求下列事件的概率：
（1） 指针指向红色；
（2） 指针指向红色或黄色；
（3） 指针不指向红色.
【解析】问题中可能出现的结果有7个，分别记为：红1，红2，红3，绿1，绿2，黄1，黄2，即指针可能指向7个扇形中的任何一个.由于这是7个相同的扇形，转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等.因此可以用列举法求出概率.
解：（1） 指针指向红色（记为事件A）的结果有3个，即红1，红2，红3，因此P（A）= ；
（2） 指针指向红色或黄色（记为事件B）的结果有5个，即红1，红2，红3，黄1，黄2，因此P（B）= ；
（3） 指针指向不是红色（记为事件C）的结果有4个，即绿1，绿2，黄1，黄2，因此P（C）= .
（作者单位：江苏省宝应县实验初级中学）
