不可忽视的“区别”

汪国银

以小球为载体，设计摸球实验求概率是中考的常见题型，摸一个球的情况比较简单，因此中考相关命题更倾向于考查摸两个球求概率的问题.

摸两个球求概率的问题通常分为两种情况：①无放回摸球；②有放回摸球.“无放回摸球”与“有放回摸球”的区别主要体现在以下三个方面：

（1） 无放回摸球是指每次摸出的一球放在袋外，下次再摸球时总数比前一次少一球；而有放回摸球是每次摸出一球再放回袋内，下次再摸球时袋内球的总数不变.

（2） 无放回摸球各次抽取不是相互独立的；而有放回摸球各次抽取是相互独立的.

（3） 对无放回摸球来讲，事件A（无放回地逐个取k个球）与事件B（一次任取k个球）的概率相等，即P（A）=P（B）；而对于有放回摸球来讲，事件（有放回地逐个取k个球）与事件B（一次任取k个球）的概率一般是不相等的，即P（A）≠P（B）.

如果能分清这两种情况，就不会出现错误.下面举例说明这两种情况.

【典型例题】2014年8月第二届青奥会在中国南京举行，青奥会服务中心要选拔一名志愿者，经笔试、面试，结果小林和小亮并列第一，评委会决定通过摸球来确定人选.现在设计两种抓球规则，甲规则：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的3个红球和1个绿球，先摸出一个球，记住颜色后放回，然后再摸出一个球，若摸出的球都是红色，则胜出；乙规则：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的3个红球和1个绿球，一次性摸取两个球，若都是红球，则胜出.

你认为选取哪个规则对双方是公平的？请用列表法或画树状图的方法分析.

【分析】甲、乙两规则中设定的袋中都是3个红球和1个绿球，且都是摸出2个红球，表面上看无区别.然而甲规则摸出的球仍放回，而乙规则一次摸取两个球相当于分两次各摸一个球，但前面摸出的球不放回，因此两规则是有本质区别的.

解：为体现事件的等可能性，不妨将3个红球分别设为红1、红2、红3，列出表格：

甲规则：

乙规则：

对比两个表中信息，显然甲规则“有放回”，等可能发生的结果数为16种；乙规则“无放回”，等可能发生的结果数为12种.甲规则中两次摸出的球都是红球的概率= ，所以甲规则对双方不公平；乙规则中一次性摸取两个红球的概率= = ，所以乙规则对双方是公平的.

【考题再现】（2014·福建泉州）在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别.

（1） 随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？

（2） 随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出相同颜色球的概率.

【分析】（1） 由在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，直接利用概率公式求解即可求得答案.

（2） 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出相同颜色球的情况，再利用概率公式即可求得答案.

解：（1） ∵在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，

∴随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是 ；

（2） 画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两次取出相同颜色球的情况有3种，

∴P（两次取出相同颜色球）= = .

【点评】从上述解析来看，摸球实验的问题中总会有一些关键词语明确地表达出是“放回”还是“不放回”问题.因此，在解决有放回与无放回问题时我们只要仔细审题，认真辨析即可.事实上，不仅仅是摸球游戏，摸牌、掷骰子等问题都有可能涉及类似问题，在解决相关问题时，我们还应善于类比，融会贯通.

【综合运用】（2013·江苏南通）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4的卡片，小明、小华两人按照各自的规则玩抽卡片游戏.

小明画出树状图如图所示：

小华列出表格如下：

回答下列问题：

（1） 根据小明画出的树形图分析，他的游戏规则是，随机抽出一张卡片后________（填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；

（2） 根据小华的游戏规则，表格中①表示的有序数对为________；

（3） 规定两次抽到的数字之和为奇数的获胜，你认为谁获胜的可能性大？为什么？

【分析】（1） 根据小明画出的树状图知数字1在第一次中出现，但没有在第二次中出现可以判断；

（2） 根据横坐标表示第一次，纵坐标表示第二次可以得到答案；

（3） 根据树状图和统计表分别求得其获胜的概率，比较后即可得到答案.

解：（1） 观察树状图知：第一次摸出的数字没有在第二次中出现，所以小明的实验是一个不放回实验；

（2） 观察表格发现其横坐标表示第一次，纵坐标表示第二次，即（3，2）；

（3） P（小明）= >P（小华）= ，故小明获胜可能性大.

（作者单位：江苏省宝应县实验初级中学）