“二次函数”学习指津

殷学民

“二次函数”是初中数学的重要组成部分、中考必考的内容，往往以基础题、能力题和拓展题三种层级的形式呈现，压轴题多涉及二次函数，即使在高中数学中也常出现，为帮助同学们唱好初中函数学习的压轴大戏，特提供如下建议.

一、 理解二次函数的内涵和本质

与前面学习的一次函数、反比例函数一样，二次函数也是源自生活的数学模型. 一般地，我们把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做y关于x的二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，x为自变量（其取值范围是一切实数），y为因变量（其取值范围并非是一切实数）.

注意y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）叫做二次函数的一般式，其等号右边的自变量的最高次数是2，但 “变量”不等同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为2次的函数”，因为“未知数”只是一个数，“变量”可在一定范围内任意取值. 当一个函数最高次项是2次且二次项系数不为零即为二次函数.

例1 已知y=mx2+xm+1是关于x的二次函数，求m的值.

【分析】由于解析式中项xm+1的指数没有确定，且m+1不小于1，题目要求是关于x的二次函数，所以分两种情况：

① xm+1是二次项，此时二次项系数为m+1，所以m？摇+1=2，m+1≠0，解得m=1；

② xm+1是一次项，此时二次项系数为m，所以m？摇+1=1，m≠0，无解.

综合上述讨论，当m=1时，y=mx2+xm+1是关于x的二次函数.

二、 从平移的角度类比二次函数y=ax2的图像和性质，理解、牢记二次函数顶点式y=a（x+h）2+k（其中a、h、k为常数，a≠0）的图像和性质

对某一二次函数，我们确定其中一个变量，就可利用解析式求出另一个变量，从而得到一组解，一组解就是一个点的坐标，而二次函数的图像就是由无数个这样的点构成的图形.

结合具体的二次函数y=ax2、y=ax2+k、y=a（x+h）2、y=a（x+h）2+k（a≠0）在同一平面直角坐标系中图像形状和位置，可发现后三者均由y=ax2平移而得. 如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点不同，所以位置不同，抛物线的平移实质上是顶点的平移. 平移规律是：“左加右减，上加下减”，即

特别提醒：“左加右减”是针对h而言，“上加下减”是针对k而言，如果抛物线是一般形式，应先化为顶点式再平移.

例2 将y=3x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，求平移后的解析式.

解：平移后的函数解析式为y=3（x-2）2-1. 反之将y=3（x-2）2-1逆向平移，向左平移2个单位，再向上平移1个单位就是y=3x2.

因为抛物线平移只改变图像顶点的坐标，不改变形状，所以要充分利用抛物线“顶点”的作用.

1. 要能准确灵活求出“顶点”

七、 灵活求解析式

1. 一般式：y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0） .

2. 两根式（也叫交点式）：当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1、x2时，根据二次三项式分解因式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），二次函数y=ax2+bx+c可化为两根式（也叫交点式）y=a（x-x1）（x-x2）.

如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点，则不能这样表示.

3. 顶点式：y=a（x+h）2+k （a、h、k为常数，a≠0），（-h，k）为抛物线顶点.

说明：（1） 任何一个一般式都可以通过配方法化为顶点式，两根式展开合并也可以化为一般式，但一般式不一定能化为两根式，仅当抛物线与x轴有交点时才能化为一般式.

（2） 如抛物线过平面内三点时，可设一般式y=ax2+bx+c，将三点坐标代入，列方程组求解；如已知抛物线的顶点（-h，k），且抛物线过平面内另外一点，则可列顶点式y=a（x+h）2+k，再将另外一点坐标代入求a值即可；如抛物线与x轴交点为（x1，0）和（x2，0），且过平面上另外一点，则可设y=a（x-x1）（x-x2），将另外一点坐标代入求a值即可.

例7 已知抛物线过点A（-1，0）、B（3，0）、C（1，5），求抛物线的解析式.

解法一：直接设y=ax2+bx+c，将点A、B、C坐标代入解析式得到三元一次方程组，解出a、b、c即可.

解法二：观察发现点A（-1，0）、B（3，0）在x轴上，说明抛物线与x轴有交点A、B，因此可设y=a（x+1）（x-3），再将点C（1，5）代入求出a即可.

解法三：通过进一步观察发现，A（-1，0）、B（3，0）两点纵坐标相同，可知A、B两点为抛物线上关于对称轴对称的两点，所以对称轴为直线x=1，进一步可知点C（1，5）为抛物线的顶点，故可设y=a（x-1）2+5，然后将点A或B的坐标代入求出a即可.

二次函数总是与其图像联系，这也是函数的特点之一，学习二次函数时，一定要注意代数与几何的联袂，做到数形结合，在理解的基础上，强化记忆一些基础知识和基本技能，这样在综合应用时才能游刃有余.

（作者单位：江苏省东台市实验中学教育集团）