剖析错因 夯实基础

张蓉

二次函数是中考命题的必考内容之一，同学们在解答中常出现形式各样的错误，造成失分. 为了帮助同学们深刻掌握这部分知识，现将同学们在解答这方面的问题时，容易出现的错误类型归纳如下：

错之一：忽略二次函数的二次项系数不为0的条件

例1 如果y=（m+1）xm2-m-3x+1是二次函数，则m的值为_______.

【错解】∵y=（m+1）xm2-m-3x+1是二次函数，∴m2-m=2，解得m=2或m=-1.

【错因剖析】二次函数一般形式y=ax2+bx+c中要求二次项系数a≠0，错解中注意到“二次项次数必须是2次”，却忽略“二次项的系数不能为0”这一条件，所以本题还要求m+1≠0，即m≠-1. 正确答案填：2.

【点评】题目给出的二次函数解析式中，如果二次项的系数含有字母，切记“二次项的系数不能为0” 这一条件.

错之二：误将函数读为二次函数

例2 如果函数y=mx2-6x+2的图像与x轴只有一个公共点，则m的值为_______.

【错解】∵y=mx2-6x+2的图像与x轴只有一个公共点，∴b2-4ac=0.

即（-6）2-4m×2=0，m=.

【错因剖析】审题不清，题目条件是函数，并没有明示或暗示是二次函数，所以它既可以是一次函数，也可以是二次函数. 解题时必须分类讨论：如果m=0，函数是一次函数，图像与x轴只有一个公共点，符合题意；如果m≠0，函数是二次函数，当b2-4ac=0时，顶点在x轴上（即图像与x轴只有一个公共点），此时m=. 正确答案填：0或.

【点评】遇到函数题，审题要仔细，一次二次要深思.

错之三：思维定势误认二次函数顶点纵坐标就是最值

例3 （2014·江苏南通）已知实数m，n满足m-n2=1，则代数式m2+2n2+4m-1的最小值等于_______.

【错解】∵m-n2=1，即n2=m-1，

∴m2+2n2+4m-1=m2+2m-2+4m-1=（m+3）2-12≥-12，

则代数式m2+2n2+4m-1的最小值为-12.

【错因剖析】消去n得到一个关于m的二次三项式，利用二次函数来求最小值，方法非常好，但忽视了自变量m的取值范围. 因为n2=m-1≥0，所以m≥1，结合函数图像（如图1），当m=1时，代数式m2+2n2+4m-1的最小值等于4. 正确答案填：4.

【点评】当利用函数来求最值问题时，一定要考虑自变量的取值范围，不能一味地认为顶点纵坐标一定是最大或最小值.

错之四：混淆图像平移的顺序

例4 把二次函数y=x2+bx+c的图像沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标是（-2，0），写出原抛物线所对应的函数关系式.

【错解】由题意设新抛物线解析式为y=（x+2）2，因为图像沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位长度，所以原抛物线所对应的解析式为y=（x+2+5）2-1，即y=x2+14x+48.

【错因剖析】审题不清，题目要求由原抛物线沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位长度，错解平移的方向全反了，变成了新抛物线平移得原抛物线. 本题的实质是由新抛物线原路返回得原抛物线，即沿y轴向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移5个单位长度. 所以已知新抛物线解析式为y=（x+2）2，则原抛物线所对应的解析式为y=（x+2-5）2+1，即y=x2-6x+10.

【点评】这一类的图像平移题通常有三种情形：（1） 已知原来的图像解析式以及平移路径，求后来的图像解析式；（2） 已知后来的图像解析式以及平移路径，求原来的图像解析式；（3） 已知原来的图像解析式以及后来的图像解析式，求平移路径. 本题属于第二种情形，所以要认真审题，分清情形，不能单纯地“左加右减”.

小试身手

1. 如果y=（m-2）xm2-2+3x-5是二次函数，则m的值为_______.

2. 已知函数y=（m+6）x2+2（m-1）x+m+1的图像与x轴总有交点，则m的取值范围为_______.

3. 如果函数y=（a-1）x2-6x+5的图像经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是_______.

4. 抛物线y=x2+bx+c的图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为y=x2-2x-3，则b、c的值为（ ）.

A. b=2，c=2 B. b=2，c=0

C. b=-2，c=-1 D. b=-3，c=2

5. 函数y=ax2-（a-2）x+的图像与x轴有且只有一个交点，求a的值及这个交点坐标.

6. 已知：x1，x2是关于x的方程·x2-（m+1）x+m2+m=0的两实数根，设S=x2 1+x2 2，当m为何值时S有最小值，最小值是多少？