数学是思维的“体操”

王远庸

小学数学是数学教育的起始阶段，学生数学思维的培养显得尤为重要，它直接关系或决定着学生后天数学学习的成败。与显性的数学知识相比，数学思维是抽象的，这就决定了数学思维的培养与训练显得并不容易，它需要教师有较好的数学素养、明确的思维培养意识和高超的教学技艺。郑毓信教授认为：教学中最为重要的就是如何能将数学思维的教学真正渗透于具体知识内容的教学之中，即以数学思维方法的分析指导具体数学知识内容的教学。一次偶然的机会，笔者有幸聆听了特级教师魏洁老师的一节观摩课——“9加几”。魏老师为我们演绎了在数学课堂上如何结合数学知识的学习进行思维训练，让学生学有兴趣的数学、有思维成就的数学。

【教学片段一】以生为师，促思维成长

师：看老师在黑板上怎么操作的？把你看到的说出来，而且能提一个数学问题，听懂了吗？

生：盒子里有9个苹果，盒子外有4个苹果，一共有13个苹果。

师：有意见吗？

生：我觉得他算得很好，借一个1给9，9就变成10，10加3等于13，所以4剩3个，1就已经变成13，所以算成13。

师：在座的听懂了的小朋友举手，我听不懂，我不举手。

生：听不懂。

师：我也听不懂，但是我听懂了第一个孩子说的，她说盒子里有几个？（9个）盒子外面有几个？（4个）然后他说一共有几个？（13个）有人认为有13个，有人认为有14个，没关系。但是我在想，实际上她给我们提了一个问题，问我们一共有多少个？要解决她的问题，你用什么方法能计算出来？

生：加法。

师：把算式告诉我们。

生：9+4=13。

师：哎呀！你喊出了一个答案，让我糊里糊涂的，因为我不知道这个答案对不对。9+4是不是等于13呢，我得打个“？”。  这个算式能看懂吗？

生：能。

师：对，是将两个部分合起来。那你们说结果等于13是怎么算的呢？

生：因为我在家里学过。

师：那你将家里学过的方法讲给我们听，你也来教教我们。

生：……

师：家里讲的9+4等于13，你是硬记下来的，你的记忆力真好。可是魏老师记不住，谁来教教我，有什么好的方法呢？

生：先算9+4，再算得13。

师：我想问这13怎么得来的？

生：……

师：没关系。待会儿我们想出来，再说好吗？我就想，如果爸爸妈妈不教我，就凭我们自己的本领，你能想出来9+4怎么做吗？

【赏析】在这一教学片段中，教师引导学生由观察入手，从简单的操作中，尝试提出一个数学问题，激活学生的思维。面对“9+4”这一新学习的内容，绝大部分学生对如何计算觉得困难。教师首先放低自己——“我不懂，我不举手。”让学生感到教师也有学习困难，需要自己的帮助，从而增强了自己学习的信心。“让我糊里糊涂的”——教师表达出自己的“疑惑”，责任感激发学生思考的内驱力。“谁来教教我？”——则是教师明确地向学生发出的“求助”信号，不知不觉中，师生关系互换，“师”者的身份促使学生主动思考。在充分激活学生思维的基础上，教师提出：“如果爸爸妈妈不教我，就凭我们自己的本领，你能想出来9+4怎么做吗？”让学生尝试自主探究9+4的计算方法。作为教学的组织者，魏老师在一步步“后退”，学生在一步步“前进”。教师一直在向学生寻求“帮助”，向学生“请教”，学生在“解惑”中学习主动性不断增强，数学思维越来越活跃，学习兴趣越来越高。

【教学片段二】阐述算理，将思维拉伸

生：把4借给9一个1凑成10，4还剩3，10加3等于13。

师：听懂的人坐直，他刚才讲到了一个借，你们听到了吗？跟谁借啊？

生：跟4借。

师：谁能上来借给我们看看。

（学生上黑板操作）

师：跟你们的想法一样吗？

生：一样。

师：4借走一个，还剩几个？ 接下来怎么算？你们刚才告诉我，是拿谁加谁？

生：9+1。

师：我们要告诉别人，你是怎么算的。

生：用9+1等于10，10再加3等于13。

师：听懂的人，谁能再说一次。

生：4借一个给9变成10，再加3等于13。

师：哎呀！这一次，我真的有点明白了，为什么等于13，谁能再教我一次，就更清楚了。

生：用4分成1和3，然后1和3合起来是13。

师：我有点听不懂了，跟我一样听不懂的人举手。我第一步听懂了，她说把4分成1和3，然后她说1和3组成13，1和3怎么能合成13呢？这里的1指的是谁呀？

生：10。

师：10怎么来的？

生：9+1=10。

师：她实际上心里算了一个9+1=10，10再加上3等于13，了不起。原来你们说出的那个答案是对的。（将问号改为13）这次你一教我，我就会了，我会了一个什么方法呢，我会了一个“借”，是你们刚才教我的，但是要借几个？

生：1个。

【赏析】“语言是思维的外壳。”思维不一定需要语言表述，但语言表述一定会有思维的存在。魏老师特别注重让学生用语言去阐述9+4的具体计算过程。在学生第一次完整地说出计算过程的基础上，魏老师由“借”入手，与学生深层交流，为学生再次梳理了9+4的算理，此后，通过“谁能再说一次”“谁能再教我一次”让学生反复地阐述算理，我们似乎看到学生的思维被一次次地拉伸。在对拉伸思维的审视中，学生发现了自己思考中的不足;在对自身思维过程的阐述中，学生的思维变得愈来愈清晰;在对数学问题的反复思考中，学生的数学思维变得更有条理，更有理性，知识掌握得也更加牢固。作为一节观摩课，魏老师并不满足于少数学生的完美回答，她关注的是学生群体的学习、学生数学思维的训练，以及学生良好学习习惯的培养，她在为学生以后的数学学习打好基础。

【教学片段三】实践操作，让思维暴露

师：9加几的算式除了9+4、9+6，还有可能是9加几呢？你能想一道吗？但不能把答案说出来。

生：9+3。

师：还可能有？

生：9+7。

师：把你想到的算式写下来，写下来后，像老师这样动手去做一做，把你们刚才跟那个数借的过程，做一做，还要像这样把它记下来，明白了吗？

（学生活动，在方框里填上想的数，再动手做一做。）

师：好，我们请一位小朋友上来演示一下。你写的是9加几？

生：9+5。

师：你是怎么借的？做给我们看看。

（学生演示，并说明，从盒子外面移一个小方块到盒子里面去。）

师：现在变成了9加几？

生：9加1。

师：等于几？

生：10。

师：然后呢？

生：10加4等于14。

师：看懂了吗？你也可以学习她，但数不要与她一样。你可以换个数研究它，研究好的同学可以跟同桌说一说，你是怎么做的？

（学生再次长时间地自主活动。）

【赏析】数学教学是数学活动的教学，而数学活动的核心是数学思维活动。在数学活动中，学生学会观察、实验和比较，提升了分析、综合、抽象和概括能力，并能进行简单的推理，尝试合乎逻辑地阐述自己的思想与观点，逐渐形成良好的思维品质。思维的结果需在实践中接受检验。学生学会了“9加几”的计算方法，理解了算理，教师让学生动手操作，将计算过程物化出来，使学生的思维暴露出来，便于学生看清自己的思维过程，发现其中的不足，清楚思维的各个环节。9+4的计算属于代数思维，郑毓信教授认为，凝聚是代数思维的基本形式，是指由“过程”向“对象”的转化，通过一段时间的学习，9+4这类计算不再被看成一个过程，而逐渐被固化为一个特定的数学对象，因此，被固化为“对象”前的过程很重要，它是学生理解数学知识的基础，否则学生的数学学习就成了死记硬背，不求甚解。对于一年级学生来说，他们的思维水平还很低，主要以形象思维为主，对动手操作更感兴趣，因此，让他们充分经历过程是必要的，便于他们更好地理解所学知识，促使他们更加主动、积极地进行思考，学习效果会更好。

【教学片段四】平等交流  激思维创新

师：刚才有小朋友写的是9+3，你是怎么做出来的？一起与大家分享一下。

生：3借给9一个，还剩2，10加2等于12。

师：同意吗？有一点我听不懂，这10怎么来的？

生：9加1。

师：你们说，他学会了吗？他刚才研究了9+3，有没有人研究9+2呢？

（没有人应声）

师：没有人？它太简单了是吗？魏老师不是特别聪明，所以我来研究9+2，你们愿意教我吗？

生：愿意。

师：现在我有几个，还要拿几个？

生：借一个。

师：变成了多少？

生：10。

师：10是怎么来的？

生：9+1等于10。

师：然后呢？

生：10+1等于11。

师：好，我记下来，谢谢你们，你们将我教会了。9+4有了，有人研究9+5吗？这儿已经有9个了，还需要几个？

生：5个。

师：你是怎样想的？

生：我是这样想的，从5里拿一个放进去，变成14。

师：老师还有一点不明白，这10是怎么来的？

生：是9跟5借一个来的。

师：好！谢谢你！这下我学会了，我把它记下来，9+5等于14。谁研究9+7的？它等于多少？

生：16。

师：9+8是谁研究的？等于多少？不用操作了，直接告诉我结果是多少？

生：17。

师：怎么一下子变成了17？

生：因为9从8里借一个不是10吗？8减1不就是7吗？所以等于17。

师;我讲一遍，你们要仔细听，我将他教我的，讲一遍给你们听。8分成了1和7，9加1等于10，会说的跟老师一起说。10加7等于17。最后一个最难了，9+9，知道答案的人举手。

生：18。

师：你们是摆的，还是用别的方法算出来的？

生：别的方法。

师：谁来说一说？

生：9加1，它是10，上面加几就是几。但是9和9合起来就是18，是因为9减1等于8。

师：（师表现出听不懂）听懂了吗？你听懂了，上来，说给大家听一听，老师刚才发现你听得特别认真，老师这颗心一定要送给你，你最会听别人说话，说吧！

生：他是说，9减1等于8，9加1等于10，所以结果是18。

师：也是用的借一个的方法，是吧？

生：不是这个意思。

师：好！再给你一个机会。

生：9可以分成1和8，9和8合起来不就等于17吗？17加1不就等于18吗？

师：（掌声）听懂他的意思了吗？告诉老师你叫什么名字。9比8多1，他就直接在17上加1，掌声送给他，了不起。今天同学们真厉害！

【赏析】学生听魏老师的课，总会被魏老师深深吸引住，他们的思维一直在数学知识的海洋中徜徉，还不时地跃出水面，跳出属于自己的“弧线”。魏老师像大姐姐一样与学生平等交流。“魏老师不是特别聪明，所以我来研究9+2。”“你们愿意教我吗？”“你们将我教会了。”“你们是摆的，还是用别的方法算出来的？”极具亲和的话语，让学生放松心灵，享受自由。学生感受到的不仅仅是平等，还有被别人需要的感觉，学生得到的是尊重，收获的是自信，迸发的是热情，学生的思维喷薄而出，火花四溅。

【教学片段五】精心设问  引思维深入

师：现在我们一起来读一读这些算式，告诉你，有秘密藏在里面。看谁最先发现这些秘密。

……

生1：前面的数都是9。

生2：加号后面的数都是从小到大排列的。

师：我告诉你，这还不算神奇，关键还有——

生：下面算式的结果都比前面算式的结果大1。

师：为什么都是大1而不是大2？

生：因为9+1=10，下面是9+2=11，2比1大1，所以11比10大1。

师：了不起，你们学会了一个很重要的观察方法，你们可以从上往下观察，还可以从下往上观察。能不能横着观察，在一道算式里看一看？

生：都是借一个，看作10。

师：现在老师随便挑一个，9+6等于？

生：15。

师：再来一个9+8。

生：17。

师：你们怎么算得这么快？

生：结果都变成十几来算。

师：说得特别棒！今天我们学的都是9加几，结果都是十几。刚开始我们觉得10加几特别好算，现在我们将9加几全部变成了10加几。你们觉得好算吗？如果以后再学的话，除了学习9加几，还可以学——

生：8加几、7加几、6加几。

师：如果要学到8加几时，你们准备怎么办啊？

生：借2个。

师：如果要学习7加几呢？

生：借3个。

师：为什么要借3个呢？

生：因为7+3等于10。

师：如果我要学到4加几的时候？

生：借6个。

师：好，我写一道算式：4+9，你会借6个吗？

生：会。

师：不会的人举手。你不会，你怎么算的？

生：4+9等于13，因为4+9就是将9+4倒过来，只要借1就可以了。

【赏析】学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。新课程标准倡导让学生充分经历知识的形成过程，可在有限的学习时间内让学生完全经历知识的形成过程是不现实的，魏老师在这方面是成功的。在充分了解学情的情况下，魏老师精心地作了问题预设。“除了学习9加几，还可以学——？”由具体问题向一类问题扩展，学生自然地运用初步构建起的思维模式去解决同一类问题。“为什么要借3个呢？”“如果我要学到4加几的时候，你会借6个吗？”引发学生深层次地思考。看似随意的提问，却紧扣学生思维的脉搏;不着痕迹地引导，将学生的思维引入新的境界。一个个“现实”的问题驱动学生的思维一步步走向深入，学生在探索前行，蓦然“发现”似乎是水到渠成的事。孩子们感到自己是一名成功的学习者，知识的获得源自自我探索，而非来自教师的“输入”。探索的曲折，让学生的思维更深刻;探索的成功，让学生对数学学习充满兴趣。

【收获】

英国哲学家培根说：“数学是思维的‘体操’。”数学课上，学生的思维就应活跃，让学生在习得数学知识的同时，养成正确的思维方式是数学教育的主要任务。结合具体数学知识进行思维训练是培养学生数学思维最基本也是最重要的形式。魏老师对学生高度的“尊重”与“信任”、“需要”与“激励”，使得学生一遍遍自觉地回顾自己的思维过程，让自己的思维变得清晰，有条理，学生对数学知识的学习不是简单的过程模仿，而是理性思考的自然结果，正确的思维方式与浓厚的学习兴趣促使学生的思维不断创新。真心希望我们每一节数学课都能看到学生飞溅的思维火花，真正让每一名学生都能受到良好的数学教育。

（江苏省盐城市射阳县小学    224300）