概率问题亮招儿

孙伟刚

由于概率贴近同学们的现实生活，因此概率问题越来越受到命题老师的青睐和眷顾，在各市中考试卷中常常作为热点问题加以考查，旨在发展同学们的数学应用意识和能力.

同学们，如何解决概率问题呢？这里教大家一招——模型思想. 所谓模型思想，就是将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确数据或可靠的思想方法. 下面通过举例予以说明.

问题（一）：老师最近有一张“明星演唱会”入场券，小明和小红都想去观看，入场券该给谁呢？他班的学生纷纷帮老师出谋划策，提供了不同的方案. 下列方案合理吗？为什么？

方案1：甲同学说：“抛掷一枚质地均匀的硬币一次，若正面朝上小明去，否则小红去. ”

方案2：乙同学说：“任意转动如图1所示的可以自由转动的转盘一次，停止转动后指针指向红色区域则小明去，否则小红去.”

方案3：丙同学说：“采用抽签法，可以事先准备好两张相同的纸条，并在其中一张上画上记号，小明、小红各抽一次，让抽到纸条上画有记号的学生去. ”

方案4：丁同学说：“抛掷质地均匀的硬币两次，两次正面朝上小明去，否则小红去.”

【解析】方案1是同学们熟悉的抛硬币概型，是古典概型中经典的例子，抛硬币一次出现正面朝上、反面朝上两种等可能结果，显然小明、小红去的概率均为；

方案2转转盘是初中阶段几何概型的典型代表，通过转盘的等分（即：把蓝色区域2等分），将指针指向红、蓝区域的不等可能事件转化为指向红、蓝1、蓝2（如图2）这三个区域的等可能事件，因此小明去的概率为，小红去的概率为，此方案不合理；

方案3的“抽签法”又称“抓阄法”，任意抽出一张纸条，出现的等可能结果只有两种：有记号与没记号，所以抽到有记号的概率为，抽签虽然有先有后，但先抽的人与后抽的人中签的概率是相同的，这样的抽签方法是合理的.

方案4则是两步事件的概率问题，可借助于画树状图（如图3）或列表格（如表1）的方法来达到一一枚举的完整性，从而得两次朝上的概率为（即：小明去的概率只有），该方案不合理.

同学们，如果我们仅满足于就题论题解决，那么习题的功能远没有发挥出来，就会失去培养自己创新思维的良机，“入宝山可不能空返啊”，如果全部用“摸球的模型”来替代，那么上述四种方案又将怎样设计呢？于是就得到下面的变式：

方案1′：在不透明的口袋中放有除颜色外其余都相同的一个红球、一个黄球. 随机摸球一次，如果摸到红球小明去，否则小红去.

方案2′：在不透明的口袋中放有除颜色外其余都相同的一个红球、两个蓝球. 随机去摸球一次，如果摸到红球小明去，否则小红去.

方案3′的变式可同方案1′.

方案4′：袋中放有除颜色外其余都相同的一个红球、一个白球，摸出一个球记下颜色后放回，再摸出一个球，如果两次都摸到红球小明去，否则小红去.

模型替代，为概率模型建立搭建了平台. 初中阶段等可能条件下的概率模型，基本上都可以用“摸球模型”来替代.

问题（二）：（1） 某校开设A、B两门选修课，甲、乙、丙三名学生各自随机报名参加其中一门课，求三名学生恰好报同一门课的概率.

（2） 一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中性别相同的概率是多少？

（3） 假如每次路口碰到红绿灯的可能性相同，一个人过3个路口，求3次都碰到同一种颜色的灯的概率是多少？

（4） 你能以“摸球”为背景设计1个与上述问题相同类型的游戏吗？

（5） 你还能举出与上述问题相同类型的随机事件吗？

……

同学们，问题（二）各小题情境不同，但解决问题的模型可归结为同一种，即：“一个3步事件的实验，每次实验结果有2种等可能性，求3步中出现同一种结果的概率. ”（答案均为：）

通过模型思想实现多题一解，能有效地培养我们的创新思维以及训练我们的发散思维，使我们觉得数学易学，感到很多新问题都是可以通过转化归结为已经解决的问题来解决，达到事半功倍的效果.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，“模型思想”作为十个核心概念之一，第一次以“基本数学思想”的身份“闪亮登场”，并且明确被冠以“学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”，这意味着“建立数学模型”这一意识和要求得到了强化. 而概率问题中的模型思想的建立，就是要充分挖掘例题的功能，进行一题多解、一题多变、多题一解等训练，着力培养全方位、多层次探索问题的能力，力求“解一题，练一串，懂一类”，只有这样，我们同学的创新思维能力才能得到最大限度的发展.

（作者单位：江苏省无锡市港下中学）