解读特殊背景中三角函数的求法

张家谱

三角函数揭示的是直角三角形中边与角之间的关系，换句话说，研究三角函数必须把边、角放到直角三角形中，下面略举几例解读如何在特殊背景中构造直角三角形求三角函数值.

一、 以网格为背景

1. 正方形网格中，∠AOB如图1放置，则cos∠AOB的值为（ ）.

A. B.

C. D.

【分析】图形中有直角三角形吗？能将∠AOB放到直角三角形中吗？利用网格容易构造出Rt△ACO，如图2设网格的长度为单位1，则可求出OC=AC=，即cos∠AOB=，故选D.

聪明的你还有其他的构造方法吗？

二、 以平面直角坐标系为背景

2. （2007·甘肃）如图3，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则sinα=（ ）.

A. B.

C. D.

【分析】过点P作PB⊥x轴于点B，∠α在Rt△OBP中，根据坐标的含义可知，PB=4，OB=3，求出斜边OP=5，即sinα=，故选B.

三、 以圆为背景

3. （2007·山东烟台）如图4，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若∠DPB=α，那么等于（ ）.

A. sinα B. cosα C. tanα D.

【分析】题中所求的是两条线段的比值，选项中给出的却都与三角函数有关，自然想到将∠α放到直角三角形中，结合题中的背景——圆，连接BD后，构造∠ADB=90°，利用相似三角形对应边成比例，得=，在Rt△PDB中，cosα=，故选B.

四、 综合型

4. 如图5，∠1的正切值等于______.

【分析】图中的背景比较多，是前三种类型的综合. 仔细观察图形发现：∠1是圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”可得∠1=∠A，而∠A可以放到Rt△ACB中，由网格可知BC=1，AC=3，故tan∠1=.

【总结】无论以何种背景呈现，都要充分挖掘特殊图形中隐藏的信息，将角、边放在直角三角形中来处理.

小试身手

1. （2007·江苏扬州）正方形网格中，∠AOB如图6放置，则cos∠AOB的值为（ ）.

A. B.

C. D. 2

2. 如图7，点E（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BE是⊙A的一条弦，则tan∠OBE=______.

（作者单位：江苏省泗洪县第一实验学校）