独立学院《线性代数》课程体系改革与实践

贺丽娟　张锴

摘 要： 本文从教学主线、教学内容、教学方法三个方面阐述了文华学院深化个性化教育理念，积极推进《线性代数》课程体系改革的思路和方法。

关键词： 独立学院 《线性代数》 课程改革

《线性代数》是高等院校理工类、经管类的一门重要的基础理论课，也是研究生入学考试的一门必考课程，该课程不仅为后继课程的学习提供了必备的数学基础知识，而且在培养学生的逻辑思维能力、运算能力、抽象及分析、综合与推理能力等方面具有重要的作用，它为工程及社会实践提供了基本的数学手段和方法，是一门应用极广泛的大学必修课程。

独立学院作为三本院校，由于学生数学基础差异性较大，学习的主动性、自觉性不足，导致线性代数教学存在“教师难教、学生难学”的窘境：一方面，《线性代数》教学时数少（32—40课时）、内容抽象，使得教师不得不增加课堂容量，忙于应付教学，缺少对教学方法的研究，学生在学习时普遍感到抽象、枯燥，丧失学习兴趣。另一方面，理论性和实践性的失调，导致教学中过于注重该课程的内容和体系的理论性、逻辑性和严密性，淡化为专业学习的服务意识，缺乏与本专业相关内容的联系，造成学生数学应用意识的淡薄。

针对以上难题，不断有老师对《线性代数》教学进行探索，文华学院的教学改革就是一个很好的例子。其《大学数学二阶段教学实践》获得湖北省教学成果二等奖，它的获奖表明独立学院对数学课程改革迈出坚实的一步，这是对独立学院的教学改革的肯定和支持。

笔者结合《线性代数》课程特点及自身的教学实践，试图在独立学院的教学背景下，谈谈《线性代数》的课程体系改革与实践方法。

1.《线性代数》教学主线的确定

以华中科技大学版《线性代数》（第二版）[1]教材为例。

《线性代数》这门课程的起源是以矩阵、行列式作为工具，求解线性方程组。纵观《线性代数》各章内容，它们都涉及线性方程组：第一章由二元、三元线性方程组引入行列式的概念，最终介绍Cramer法则求解线性方程组；第二章、第三章中求解矩阵方程及方程组；第四章中向量的线性相关、线性表示实质就是研究齐次线性方程组和非齐次线性方程组；第五章特征值特征向量则是研究特殊的齐次线性方程组。不难发现，《线性代数》的基本问题或者说直接研究对象就是线性方程组，围绕线性方程组这个核心概念，以线性方程组的求解作为重点，将其理论与方法分散于各章，依次引出行列式、矩阵、向量等的概念与理论，并通过方程组的提出、求解、应用，把各相关内容串联起来。因而以线性方程组为主线建立线性代数教学体系非常自然。对于初学者来说，这种体系便于在教学中实施问题式、探究式的教学方法。

2.服务于教学主线的内容安排

《线性代数》教学内容经过多年的锤炼，已成经典，要进行大的改动很难。但在部分内容的安排和处理上，可以灵活的。以下是笔者对《线性代数》教材中部分内容不同处理方法的认识和感受。

2.1行列式概念的引入

行列式是《线性代数》重要的概念之一，一般都安排在教材的第一章，是学生接触到的第一个概念，因此，对这一概念的理解掌握十分重要。首先通过消元法解二、三元线性方程组，给出二、三阶行列式的定义，接下来直接介绍行列式的按行（列）展开法则，以此作为n阶行列式的概念。这样处理省略了在后继内容中很少使用的全排列及逆序这一部分内容，使用行列式的按行（列）展开法则，揭示高阶行列式与低阶行列式之间的关系，这样处理显得更直接，实践性更强。

2.2线性方程组部分

线性方程组有解的条件、求解的方法及其解的结构理论是《线性代数》的重要内容之一。我们把线性方程组作为教学主线，将其理论与方法分散于各章。在矩阵部分给出方程组的矩阵表示，并通过消元法求解线性方程组的实质给出矩阵的初等变换，再通过矩阵的初等行变换求解线性解方程组。在介绍了矩阵秩的概念之后，结合求解方法给出非齐次线性方程组有解及齐次线性方程组有非零解的条件，最后在讨论向量组的线性相关性之后，讨论线性方程组解的结构理论。从向量组的线性相关性角度，讨论线性方程组解的结构理论。这种处理方法的优点在于，利用线性方程组把整本教材内容串联起来，浑然一体，当然，在所有内容讲完之后，给学生做个小结，即把所有关于线性方程组的内容完整地展现给学生，使学生对线性方程组内容有更清晰的整体认识，这样效果会好得多。

2.3矩阵的秩与向量组的秩

向量组的线性相关性这一章集中了大量的定义、命题、定理及复杂的理论推导，而秩是《线性代数》中最抽象最难理解的概念之一。向量组的秩一般都是在介绍了向量组的线性相关性之后，通过向量组的极大线性无关组中所含向量个数定义的。而对于矩阵的秩，是通过矩阵的最高阶非零子式的阶数定义，学生在学习这部分内容时由于理论性太强，深感难度。事实上，矩阵是由向量组构成，理论表明矩阵的秩等于行向量组的秩及列向量组的秩。所以，从向量组的秩入手顺便复习矩阵的秩将大大降低学生学习的难度。于是，我们加入了一个关于矩阵的秩与向量组的秩之间关系的教学内容，并在此总结两者之间的关系，从而降低了初学者的学习难度，取得了不错的教学效果。

3.《线性代数》教学方法的转变

要全面提高线性代数的教学质量，不但要对课程体系和教学内容进行优化组合，还必须对教学理念、教学方法进行更新和完善，以下是笔者在教学实践中对于《线性代数》教学方法的体会。

3.1数形结合

由于本校的线性代数课程安排在大学一年级下学期，《微积分》[2]中刚学习完空间解析几何，其为线性代数中许多概念和理论提供了几何背景和几何解释。

例如，线性代数中二阶行列式D=a a a a 在平面内表示以 =（a a ） ， =（a a ） 为邻边的平行四边形的面积 ：若这个平行四边形是由向量 沿逆时针方向转到 而得到的，则面积取正值；若这个平行四边形是由向量 沿顺时针方向转到 而得到的，则面积取负值；类似的，三阶行列式是它的三个向量在空间上张成的平行六面体的有向体积。同时启发我们可以把n阶行列式定义为n个n维平行多面体的有向面积。

同样的，三元方程ax+by+cz+d=0在空间直角坐标系中表示一个空间平面。设有三元线性方程组a x +a x +a x =0a x +a x +a x =0a x +a x +a x =0，该方程组的每个方程在空间中表示一个平面，让学生自己动手画一画三个平面的位置关系，然后在老师的引导下，总结出三个平面之间的位置关系及方程组解的情况与系数矩阵和增广矩阵的秩之间的关系。

在教学中，将空间解析几何的内容渗透到《线性代数》中，进行几何直观教学，可以帮助学生降低理解数学概念、性质、定理的难度，同时帮助学生了解一些相关背景，使学生在数与形的统一中体会到概念、性质、定理的内涵，培养学生应用定理、概念分析问题、解决问题的能力。

3.2应用背景中的案例教学

《线性代数》在不同的专业都有非常广泛的应用，如何将应用实例引入教学中，让学生看到《线性代数》的实用性，培养学生运用线性代数知识和工具解决实际问题的能力；如何恰到好处地结合一些实际例子让学生明白抽象概念的实际意义，进而加深对理论知识和方法的掌握和理解是教师必须思考的重要问题。不妨结合学生的专业背景，引入实例教学，让学生了解该课程的作用和意义。比如对通信专业的学生，可以介绍《线性代数》在保密通信方面的简单例子；对经济管理类专业的学生，可以介绍如何利用矩阵刻画投入产出表。

例1：信息加密问题。

在英文消息的传递中，有一种对消息进行保密的方法，其原理是将消息中不同的英文字母分别用不同的整数替代，然后传递这组整数，接收方根据约定将该整数组还原为消息。但是，这种方法很容易被破译，因为在一个很长的消息中，根据数字出现的频率，可以大致估计它所代表的字母。所以实际应用中往往用行列式等于±1的整数矩阵乘以说得的整数组，实现对这个消息的进一步加密。

例如一个消息“SENDMONEY”编码后可用数字[19，5，14，4，13，15，14，5，25]表示，其中有相同的数字14，如果直接发出编码，就很容易被人破译。若用行列式为的整数矩阵A实现进一步加密，就会大大增加破译难度。不妨设变换矩阵

则所发出的消息为[81，62，38，77，73，32，93，79，44]，原本相同数字14在变换后变成了不同的数字，增加了破译难度，而接收方只要将收到的矩阵乘以A ，就可以恢复原来的消息。

例2：利润问题[4]。

企业经营几类商品，由于有些费用难以划分，因此不能确定每种商品的利润率，这种情况可以通过不同时期（或不同门市部）的总利润，列出方程组求解。

例如：某商店经营四类商品，每个月的销售额及利润表如下表所示，试求每类商品的利润率。

将应用型的实例渗入《线性代数》教学中，既可以丰富教学内容，又可以让学生了解线性代数的应用价值，体会到应用线性代数的知识解决实际问题的方法和过程，让学生体会到成功解决问题的快乐，极大地调动学生学习《线性代数》的积极性。

4.结语

独立学院线性代数的教学改革是一个复杂的系统工程，要从学校、教师、学生三方面出发，以培养学生创新精神和实践能力为主要目的，构建旨在培养学生创新精神和实践能力的学习方式和教学方式，积极探索设计适合独立学院实际的教学实践活动。改革需要创新，创新推动发展，独立学院《线性代数》的教学改革也是如此，我们要努力创新，在实践中不断探索与摸索适合独立学院实际的《线性代数》教学改革之路。

参考文献：

[1]林升旭，梅家斌.线性代数教程[M].华中科技大学出版社，2009.

[2]华中科技大学高等数学课题组.微积分[M].华中科技大学出版社，2011.

[3]吴赣昌.线性代数[M].中国人民大学出版社，2009.

[4]张莹华.线性代数及其在经济领域中的应用与作用[J].黑龙江科技信息，2011（30）.