浅论含有指数或对数的方程的根的判断

李湘 张永亮

摘 要： 方程是初等代数中最基本的内容之一，它研究事物间的等量关系，并为人们由已知量推求未知量提供方法，在数学各个分支甚至其他学科中都有着重要作用.本文主要采用初等代数、数形结合的方法，研究一些含有指数或对数的方程，并对方程的根的情况进行简单的研究.

关键词： 方程的根 换元 数形结合

方程是初等代数中最基本的内容之一，它研究事物间的等量关系，并为人们由已知量推求未知量提供方法，在数学各个分支甚至其他学科中都有着重要作用.方程的中心问题是求解问题.但是对于方程的求解，人们只知道其中很少的一部分.甚至对于人们公认最简单的代数方程，仅仅解决了五次以下的一般求法，而对于五次以上的代数方程，由年轻的数学家阿贝尔和伽罗瓦，在前人不努力的基础上，通过群论，证明了不存在一般的解.既然没有一般的解，可不可以探求特殊方程的解，甚至只需求出近似解，或只需要判断解的存在性，以及根的大致范围.在此，我们看看，简单的含有指数或对数的方程的根的存在性，以及根的范围.

1.化为简单的代数方程来求解

有些方程虽然是超越方程（含有指数或对数），但是可以通过换元变为代数方程，再利用指数函数和对数函数的性质求解.

1.1简单类型的指数方程

方程f（a■）=0与方程组t=a■f（t）=0同解，也就是通过换元思想，化指数方程为代数方程.

例1：解方程7■=343.

解：x■-5x+9=log■343=3，

于是有x■-5x+9=3，

解得x■=2，x■=3即为原方程的解.

例2：解方程4■-3■=3■-2■.

解：原方程可化为2■-■3■=■·3■-0.5·2■，

即■2■=■3■，2■=3■，得（2x-3）lg2=（x-0.5）lg3，

移项，提取公因式得（2x-3）（lg2-0.5·lg3）=0，而lg2≠0.5·lg3，

故x=1.5为原方程的解.

1.2简单类型的对数方程

方程f（log■g（x））=0（a>0，a≠1）与方程组t=log■g（x）f（t）=0同解，可以通过换元思想，把对数方程化为简单方程.

例3：解方程log■（5+4log■（x-1））=2.

解：令t=5+4log■（x-1），

得log■t=2，根据对数定义得t=9，

即5+4log■（x-1）=9，log■（x-1）=1，x-1=3，

得到原方程的解为x=4.

例4：解方程（x+1）■=100（x+1）.

解：方程的定义域是{x|x>-1}，

对两边取常用对数，得lg（x+1）■=lg[100（x+1）]，lg■（1+x）=2+lg（x+1）.

令lg（x+1）=t，则上式可以化为t■-t-2=0，

解得t■=-1，t■=2.

当lg（x+1）=-1时，得x+1=0.1，所以x■=-0.9；

当lg（x+1）=2时，得x+1=100，所以x■=99.

经检验，x■，x■都是原方程的根.

注：解对数方程时，不仅用到同解变形，而且要用到非同解变形，所以在求出根后，一般要进行检验.

2.数形结合求方程的解

数形结合主要是把方程的解的个数转化为函数图像的交点的个数问题，利用数形结合的思想将抽象的问题直观化和具体化.

例5：试对实数m的取值情况，讨论关于x的方程|2■-1|=m的根的个数.

图1

分析：如果去掉绝对值，直接从方程的角度很难入手，而如果利用两个函数图像的交点个数，则可使问题变得简单.

解：令f■（x）=|2■-1|，f■（x）=m，在同一个坐标系中画出其图像，由图1可知，

当m≥1或m=0时，两图像只有一个交点，原方程有唯一的解；

当0

当m<0时，两图像无交点，方程无实数解.

注：在讨论有关方程的根的个数时，通常把方程问题转化为函数图像交点的问题，而在建立函数时，一般情况下，一个含有参数，另一个不含参数，含参数的函数通常是比较简单的一个，比如本题就是设常数函数含有参变量.当然，其他设法也是可以的，可以通过比较看难易程度，进而观察函数在随着参数变化而运动的过程中交点的个数.

例6：方程log■（x+4）=2■的实数解的个数为多少个？

分析：要判断两个方程的根，只需要判断两个函数的交点个数即可.

图2

解：分别在同一个坐标系中作出y=log■（x+4）与y=2■的图像.如图2所示，两个函数有两个交点，故原方程有两个实数解.

注：以上两个例题中，两个函数的图像的相交情况是比较简单的，只需要作出草图即可作出判断.而如果两个图像的相交情况比较复杂时，仅仅通过草图不容易得到交点的，我们还需要用其他方法找交点.

本文只是从比较常见的几种方程类型出发，判断其根的存在性与解法.然而我们所见到的方程远不止这些，与代数方程结合起来的非代数方程数不胜数，这要求我们对代数方程的解法了然于心.所以，在求含有指数和对数的方程的解时，我们要有扎实的因式分解基本功.随着计算机技术的发展，新课标提出，可以让学生通过几何画板作出一些简单的函数图像，甚至包括超越函数的图像，数形结合，再通过观察，能够得到方程的根的个数及近似解.

参考文献：

[1]陈纪修.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]李长明，周焕山.初等代数研究[M].北京：高等教育出版社，1995：219-231.

[3]刘胜利.几何画板课件制作教程[M].北京：科学出版社，2004：197-198.

基金项目：遵义师范学院校级资助项目（13-41）