浅析逆矩阵的几种常见求法

何冬梅

摘    要： 矩阵是高等数学内容中的一个重要组成部分之一，很多实际问题用矩阵的思想解，既简单又快捷，逆矩阵是矩阵理论的一个重点内容，因而逆矩阵的求法显得尤为重要，但在数学过程中，学生往往对求逆矩阵的方法感到困惑.本文分析求逆矩阵的常见方法，希望对相关学生在学这个知识点的时候有所帮助.

关键词： 逆矩阵    伴随矩阵法    初等变换法

一、矩阵的一些基本概念

1.矩阵的k阶子式

在m×n矩阵A中，任取k行k列（1≤k≤min{m，n}），位于这些行列相交处的元素按原顺序构成的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.

2.矩阵的行初等变换

以下三种变换：

（1）交换任意两行的位置;

（2）用非零数k乘某行的所有元素;

（3）某行所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去称为矩阵的行初等变换.

3.逆矩阵

矩阵的乘法，一般不满足交换律.

设A、B均为n阶方阵，若AB=BA=E，则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵，A的逆矩阵记作A，即A=B.

二、求逆矩阵的几种常见方法

1.伴随矩阵法

设A是一个n阶方阵，且矩阵A的行列式|A|≠0，则A为可逆的，且

其中A为矩阵A的伴随矩阵，

A为行列式|A|中的位于第i行第j列的元素的代数余子式.

例1.设矩阵A= 1     0    1 2     1    0-3    2    5，问A是否可逆？若可逆，求A.

解：因为|A|= 1     0    1 2     1    0-3    2    5=2≠0，所以A可逆.

2.初等變换法

利用矩阵的初等变换，求一个矩阵的逆矩阵的方法，被称为初等变换法.

具体方法是：

例2：求A=1    7    20    2    40    0    1的逆矩阵

0         1

当然，也可以用列初等变换求逆矩阵，即

A…E                       E…B

以上两种方法是求逆矩阵最常见的方法，也是相对容易掌握的方法.除此以外，还有利用逆矩阵的定义法、分块矩阵求逆法，利用线性方程组求逆矩阵等.

三、利用常见的求逆矩阵的方法求逆矩阵时学生存在的问题

求出的所谓的逆矩阵，往往是错误的，错误原因：

1.粗心大意，数字算错.

2.没有弄清楚什么是矩阵A的伴随矩阵、k阶子式.

3.没有真正理解什么是矩阵的行初等变换.

4.有些基础差的学生，连初一的正负数的四则运算也不会.

四、如何帮助学生解决求逆矩阵带来的困惑

引导学生养成认真学习、做事细心的好习惯;克服学习数学的恐惧心理，基础差则及时补上欠缺的知识;理解透彻矩阵A的k阶子式、伴随矩阵及矩阵的行初等变换等概念，再记住求逆矩阵的方法，就能正确求出一个矩阵的逆矩阵.

五、结语

求逆矩阵的方法很多，最常见的有伴随矩阵法和初等变换法，这两种方法是求逆矩阵的较简单的方法，当可逆矩阵为二阶方阵时，用伴随矩阵法既方便快捷又容易求其逆矩阵，若可逆矩阵为三阶以上矩阵时，则用初等变换法较好，当可逆矩阵的阶数为高阶且有规律可循时，用分块矩阵法求逆矩阵较简便.但无论用哪种方法，都离不开基础知识，因此掌握好基础知识是解决问题的关键所在.

参考文献：

[1]北大几何宇代数教研室代数小组.高等代数，人教出版社，1987.3.

[2]同济大学应用数学系.高等数学.高教出版社，2008. 4.

[3]四川大学高数教研室.高等数学.高教出版社，2004. 2.

[4]薛桂兰.高等数学学习指导.高教出版社，2005.6.