一道高考题的推广

何儒彬

1.问题的提出

2014年四川省高考理科第20题是这样一道题：已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.

（ⅰ）证明：OT平分线段PQ（其中O是坐标原点）；

（ⅱ）当■最小时，求点T的坐标.

笔者在对该题中的第（2）小题进行探讨时，发现该结论可以推广到更一般的情形.

2.问题的推广与证明

由于第（2）小题结论（ⅰ）对于椭圆来说是一个一般性结论，笔者认为，该结论对于双曲线也应该成立，当附加一定的条件时，结论（ⅱ）对于椭圆（或双曲线）应该有一般表达式.

笔者通过深入探究，发现如下一般性结论：

推广一：如图1椭圆C：■+■=1（a>b>0）的焦点为F，T为椭圆准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），过F作TF的垂线交椭圆于P，Q两点，则有：

（1）OT平分线段PQ（其中O是坐标原点）；

（2）当c>b时，■有最小值■，这时T点坐标为（-■，-■或（-■，■）；

（3）当T是非x轴上的点时，K■K■=-■；

（4）若P关于坐标原点O的对称点为P′，则P′Q||OT.

证明：不妨设F（-c，0）为椭圆的左焦点.椭圆左准线：x=-■.

设T（-■，m），则K■=-■，当m=0时，T为椭圆左准线与x轴的交点，这时PQ为椭圆的通径，OT平分PQ.当m≠0时，因为TF⊥PQ，由K■K■=-1得K■=■（1）

所以直线PQ的方程为y=■（x+c），设P（x■，y■），Q（x■，y■），

联立■+■=1y=■（x+c）得（a■b■+c■m■）x■+2a■b■cx+a■c■（b■-m■）=0

因为△=4a■b■c■-4a■c■（a■b■+c■m■）（b■-m■）=4a■c■m■（b■+c■m■）>0

所以x■+x■=-■（2）

x■x■=■（3）

由y■+y■=■（x■+x■+2c）=■（2c-■）=■

得PQ的中点G（-■，■）

计算K■=-■，K■=-■得K■=K■.

由此知O，G，T三点共线，即直线OT过线段PQ的中点G，所以OT平分线段PQ.

计算|TF|=■=■（4）

|PQ|=■■

（5）

把（1），（2），（3）式代入（5）式，整理得|PQ|=■（6）

由（4）式，（6）式计算得比值

■=■=■■=■=■

=■■

=■■

≥■■=■.

当c>b时，解出m=±■■，此时■有最小值■，T为（-■，■■）或（-■，-■■）.

根据结论第（1），（2）题证明已计算出K■=■，K■=-■易得K■K■=-■.

点P（x■，y■）关于坐标原点O的对称点为P′（-x■，-y■），P′Q的斜率K■=■=■/-■=-■，即直线P′Q与直线OT的斜率相等，所以P′Q||OT.

推广二：如图2，双曲线C：■-■=1的焦点为F，T为双曲线准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），且点T的纵坐标m≠±■，过F作TF的垂线交双曲线于P，Q两点，则有：

（1）直线OT平分线段PQ（其中O是坐标原点）；

（2）■=■

=■■；

（3）当T是非x轴上的点时，K■K■=■；

（4）若P关于坐标原点O的对称点为P′，则P′Q||OT.

以上结论的证明与椭圆情形类似，这里不再赘述.

继续探索.我们把椭圆更换为抛物线，这时结论将如何呢？请看下面的例子：

如图，抛物线y■=4x的焦点为F，动点T（-1，m），过F作TF的垂线交抛物线于P，Q两点，弦PQ的中点为N.

（1）证明：线段NT平行于x轴（或在x轴上）；

（2）若m>0且|NF|=|TF|，求m的值及点N的坐标.

解（1）由抛物线的标准方程y■=2px及焦点F（■，0），准线方程x=-■知，此抛物线的焦点F（1，0），准线方程x=-1，动点T（-1，m）在准线上，由斜率公式得K■=-■.

当m=0时，T为抛物线准线与x轴的交点，这时PQ为抛物线的通径，点N与焦点F重合，易知线段NT在x轴上.

当m≠0时，因为TF⊥PQ，所以K■K■=-1，解得K■=■，于是直线PQ的方程为y=■（x-1）代入y■=4x化简整理得x■-（2﹢m■）x﹢1=0，△=（2+m■）■-4=m■（4-m■）>0.设P（x■，y■），Q（x■，y■），由韦达定理可知x■+x■=2+m■，y■+y■=■（x■+x■-2）=2m，得弦PQ的中点N（■，2），结合T（-1，m），由斜率公式计算得K■=0，所以NT平行于x轴.

综上可知，线段NT平行x轴（或在x轴上）.

（2）已知∣NF∣=∣TF∣，在△TFN中，tan∠NTF=■=1知∠NTF=45°，得△TFA是等腰直角三角形（A是准线与轴的交点），所以∣TA∣=∣AF∣=2，動点T（-1，m），得m=2.

因为∠NTF=45°，所以K■=tan45°=1，又F（1，0），可得直线PQ的方程为y=x-1，由m=2得T（-1，2），由（1）知线段NT平行于x轴，设N（x■，y■），则y■=2代入y=x-1得x■=3，所以N（3，2）.

推广3：抛物线y■=2px（p>0）的焦点为F，T为抛物线准线上任一点，过F作TF的垂线交抛物线于P，Q两点，弦PQ的中点为N，则线段NT平行于x轴（或在x轴上）.