“数列的函数性质”一节教学内容的延伸和拓展
2015-09-10陈允安
陈允安
摘 要： 随着新一轮课程改革的深入，高中数学知识点在实际中的应用，在不同知识模块间的渗透应用随处可见.所以数列作为一类特殊的函数，函数性质在数列中的考查有着一一体现.由于本节知识点较多，教材仅是将主要内容进行概括说明，而数列的函数性质是学生第一次接触，在讲解过程中教师有必要延伸和拓展才能取得较好的教学效果.
关键词： 数列 函数性质 教学内容 教学效果
“数列”一节是苏教版高中教材必修五第二章第一节的内容，教材内容安排的顺序是：数列的定义；数列的通项公式；数列的表示；数列的函数性质.数列的定义和通项公式是本节的重点，数列的函数性质是本节的难点，教材首先从日常生活中常见的一些数的问题抽象出数列的定义，然后通过对数列定义的理解比较数列与函数之间的关系.所以数列和函数之间有着彼此相互利用的关系.随着新一轮课程改革的深入，高中数学知识点在实际中的应用，在不同知识模块间的渗透应用随处可见.所以数列作为一类特殊的函数，函数性质在数列中的考查有着一一体现.由于本节知识点较多，教材仅是将主要内容进行概括说明，而数列的函数性质是学生第一次接触，在讲解过程中，教师有必要进行延伸和拓展才能取得较好的教学效果.下面就将我在教学“数列的函数性质”一节教学内容时延伸和拓展的内容总结如下.
1.数列与函数的关系
1.1相同点
在数列{a■}中，对于每一个正整数n（或n∈{1，2，…，k}），都有一个数a■与之对应，因此数列可以看成以正整数N■（或它的有限子集{1，2，…，k}）为定义域的函数a■=f（n），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值y=f（x）.反过来，对于函数，如果f（i）（i=1，2，3，…）有意义，那么我们可以得到一个数列：f（1），f（2），f（3），…，f（n），….
1.2不同点
数列可以看成是一个定义域为正整数N■（或它的有限子集{1，2，…，k}）的函数按自变量从小到大依次取值，即数列是一种特殊的函数，定义域有限制，所以在用函数性质解决数列问题时尤其要注意.
1.3例题讲解
例1.数列{-2n■+29n+3}中最大项的值为？摇 ？摇.
解析：错解：由已知得a■=2n■+29n+3=-2（n-■）■+108■，所以数列{-2n■+29n+3}中最大项的值为108■.
错解分析：数列是一种特殊的函数，定义域是正整数集，n取不到■，所以最大项也不能为108■.这一个约束条件很容易被忽略.
正解：a■=-2n■+29n+3=-2（n-■）■+108■，∵n∈N■，∴当n=7时，a■有最大值为108.∴数列{-2n■+29n+3}中最大项的值为108.
2.数列的通项公式
2.1知识链接
在数列{a■}中，如果数列{a■}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式a■=f（n）表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.从函数的观点看，数列的通项公式实际上是一个以正整数N■（或它的有限子集{1，2，…，k}）为定义域的函数的解析式.
2.2例题讲解
例2.在数列{a■}中，a■=2，a■=66，通项公式是项数n的一次函数.
（1）求数列{a■}的通项公式；
（2）88是否为数列{a■}中的项.
解析：（1）设a■=an+b，由题意得：2=a+b66=17a+b，解得：a=4b=-2，∴a■=4n-2.
（2）令4n-2=88，解得n=■？埸N■，所以88不是数列{a■}中的项.
2.3延伸理由
教师的教学应该遵循学生的认知规律，虽然我们知道数列的通项公式实际上就是数列的解析式，但是由于学生刚刚开始学习数列，对这一点的认识肯定不是十分清楚.但由于学生已经熟练掌握了函数的概念和解析式的内容，因此如果能带领或引导学生从函数解析式的角度理解数列的通项公式，学生肯定能进一步认识清楚数列通项公式与n之间的关系，达到事半功倍的教学效果.
3.数列的图像
3.1知识链接
由于数列可以看成是一个定义域为正整数N■（或它的有限子集{1，2，…，k}）的特殊函数，因此数列的图像是相应的曲线（或直线）上横坐标为正整数的一群孤立的点.数列用图像表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图表示一个数列.在画图时，为了方便起见，在平面直角坐标系中，两条坐标轴上取的单位长度可以不同.
3.2例题讲解
例3.数列{a■}：1，1，3，3，5，5，7，7…
（1）写出它的一个通项公式；
（2）若把其中的偶数项去掉，求余下的数按原来的顺序组成的新数列的通项公式.
（3）作出（2）中新数列的图像.
解析：（1）a■=n（n为奇数）n-1（n为偶数）或a■=n-■（n∈N■）
（2）a■=2n-1.
（3）{a■}的图像如右图所示：
3.3延伸理由
《新课标》指出：“要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。”课堂上，教师如果能带领学生一起作某一个数列的图像，当学生发现到黑板上所作出来的数列的图像是一群孤立的点的时候，可以更直观地让学生发现到数列确实是一个函数，但它是一个特殊的函数，即n的取值的特殊性.这正好和前面所讲到的数列通项公式中n的特殊性呼应起来，这种教学效果估计是任何语言都替代不了的.
4.数列的单调性
4.1知识链接
数列作为一种特殊的函数，同样具备函数的单调性性质.对于数列{a■}来说：①若a■
4.2例题讲解
例4.已知函数f（x）=2■-2■，数列{a■}满足f（log■a■）=-2n.
（1）求数列{a■}的通项公式；
（2）证明数列{a■}是递减数列.
解析：（1）由已知条件有2■-2■=-2n，所以a■-■=-2n，即a■■+2na■-1=0，所以a■=-n±■，因为a■>0，所以a■=-n+■.
（2）由于a■>0，要比较a■与{a■}的大小，可以作差也可以作商.
因为■=■=■<1，所以a■ 4.3延伸理由 教学不仅是一个实践过程，还是一个心理过程.古人云：“不愤不启，不悱不发.”我们不让学生思考，学生就不会有“愤”和“悱”的冲动.既然教师在课堂上反复地提到数列其实就是一种特殊的函数，但是拿什么东西让学生相信这一点呢？我想当学生从上面的例子中体会到也可以用函数的单调性的知识处理数列的单调性时，那么就会对学生理解数列的函数性质起到锦上添花的作用. 5.数列的最值 5.1知识链接 数列是一种特殊的函数，由于函数可以通过解析式求函数的最值，因此数列也可以由通项公式确定数列中的最大（小）项.研究数列的最值问题有两种途径：一是数列是特殊的函数，可以沿用函数求最值的方法，但是要注意使{a■}取最值的n值必须是正整数，二是有的时候数列并不一定有最大（小）项. 5.2例题讲解 例5.已知数列{a■}的通项公式a■=（n+1）（■）■（n∈N■），试问数列{a■}有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由. 解析：∵a■-a■=（n+2）（■）■-（n+1）（■）■=（■）■·■， ∴当n<9时，a■-a■>0，即a■>a■； 当n=9时，a■-a■=0，即a■=a■； 当n>9时，a■-a■<0，即a■ 故a■ 5.3延伸理由 新课程下课堂教学的一个重要变革就是要把传统教学的“一维目标”（知识与技能）转变为“三维目标”（知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观）.而关注学生的全面发展，就必须要强调数学教学活动中三维目标的整体实现.所以在这个知识点上，教师如果能够引导学生探索掌握如何根据函数求最大值的方法去类比求数列中最大项的求法，这样学生就可能经历如下思维过程：“提出问题”—“分析问题”—“经历失败”—“汲取信息”—“解决问题”. 用教材教，还是教教材，是彰显一名教师教育观念和教育行为是否与时俱进、是否具有高水平实施新课程能力的主要标志.当然，需要注意的是，本部分内容延伸和拓展的素材和题目比较多，有的地方也较难，教师应该如何把握呢？我想首先要立足于学生的实际——学生的接受能力、理解能力及学习能力.特别提醒的是不能让延伸和拓展的内容冲淡了本节课的主题，否则教学目标则被冲淡，整个教学计划就有可能落空，教学效果也不会好.
