运用面积与等积变换解题初探

周建玮

面积与等积变换，主要是利用面积公式或等积变换求解或证明有关面积、面积比、面积恒等式，以及有关线段长、线段比等几何问题，是数学解题的重要方法，也是研究几何学的有力的工具，在平面几何问题中，虽然没有直接涉及面积，然而灵活运用面积与等积变换解决问题，往往会出奇制胜，事半功倍.

一、若把给定的图形分成若干部分，则被分成的各部分面积之和等于给定图形的面积

（一）等量关系的证明

例1：求证：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高线.

解析：如图（1），连接AD，

则S△ABD+S△ADC=S△ABC

即■AB·ED+■AC·FD=■AC·BH

∵AB=AC

∴ED+DF=BH

（1）

例2：求证：正三角形内任一点到三边的距离之和等于一边上的高线.

（2）

解析：如图（2），

连接AO，BO，CO，

则S△ABO+S△BCO+S△ACO=S△ABC

即■AB·OD+■BC·OE+■AC·OF=■AC·BH

∵AB=AC=BC

∴OD+OE+OF=BH

以上两题都是通过添加辅助线，得到几个分图形，而这几个分图形的面积之和等于总面积，然后利用三角形面积公式很容易得到命题的结论.

（二）不等量关系的证明

例3：边长为K的正△PQR，分别在各边上取QL=a，LR=b，RM=c，MP=d，PN=e，NQ=f，求证：bc+de+fa

解析：如图（3），连接NL，LM，MN，则：S△LRM+S△MPN+S△NLM=S△PQR

即：■bcsin60°+■desin60°+■fasin60°<■K■sin60°

∴bc+de+fa

（3）

二、利用等底等高的两个三角形面积相等来转化命题结论形式

例4：已知梯形ABCD，AD=1cm，BC=4cm，且对角线AC⊥BD，AC=3cm，BD=4cm，求梯形ABCD的面积.

解析：如图（4），过点D作AC的平行线交BC的延长线于E

∵AD=CE（平行四边形对边相等）

B到AD的距离与D到CE的距离相等（平行线间的距离相等），则S△ABD=S△DCE

故S梯形ABCD=S△DBE

∵3■+4■=5■即BD■+DE■=BE■

∴△DBE为直角三角形

S梯形ABCD=S△DBE=■×3×4=6cm■

（4）

此题利用等底等高的△ABD和△DCE面积相等，巧妙地把梯形ABCD转化为Rt△DBE，进而利用直角三角形面积公式求得结果.

三、利用两个等底的三角形面积之比等于它们的高之比，两个等高的三角形面积之比等于它们的底之比来证题

例5：如图（5），△ABC的各边AB，BC，CA上取AD、BE、CF各等于边的■，求证：S△DEF=■S△ABC.

解析：连接AE，

∵△BED与△ABE同高，且BD=■AB，

∴S△BDE=■S△ABE，

又∵△ABE与△ABC同高，且BE=■BC，

∴S△BDE=■×■SABC=■S△ABC

同理：S△ADF=■S△ABC，S△CEF=■S△ABC，

（5）

S△BDE+S△ADF+S△CEF=■S△ABC

S△DEF=■S△ABC

四、利用相似三角形面积之比等于相似比的平方解题

例6：如图（6），已知梯形ABCD，AD//BC，对角线BD和AC交于点E，S△AED=a■，S△BEC=b■，求：S梯形ABCD

解析：过点A作AH⊥BD于H，

则AH就是△ABE与△AFD的公共高，

∴■=■，

∵△BEC相似于△AED

（6）

∴■=■=b/a

∴S△ABE=ab

同理：S△DEC=ab

∴S梯形ABCD=a■+b■+ab+ab=（a+b）■

以上列举了面积与等积变换在解题过程中几种方法，可见，巧妙运用这几种方法，可以转化命题的结论形式，使命题求解过程简单化.