与高中生数学解题错误作“斗争”的策略

江润川

摘 要：高中数学解题是学习高中数学的一个重要内容，而在解数学题的过程中，由于各个方面的原因，学生难免会出现这样或者那样的错误，针对这种情况，我们如何去与这些错误作“斗争”，并且能将其改正过来，这对于我们的教学工作以及提高学生的成绩都有很大的帮助，尤其是现在高三的学生，减少错误，提高正确率，在高考中取得优异的成绩更加是不言而喻的。

关键词：高中生；数学解题错误；斗争策略

一、与误判错误作“斗争”的策略

1. 误判错误的表现

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）若f（n）=an，n为奇数，bn，n为偶数，是否存在k∈N*，使f（k+3）=4f（k）成立？若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由。

下面的第（1）问是某个学生的解题过程：

∵P1（a1，b1）是直线与直线l：y=3x+1与y轴的交点

又∵数列{an}是公差d=1的等差数列

∴bn=3an+1=3n-3

这个学生的错误就是把与y轴的交点看成是（a，0），也就是说与y轴的交点看成是纵坐标为0，与x轴的交点看成是横坐标为0。

2. “斗争”的策略

（1） “把控”信息源头。所谓源头就是从根本上弄清楚一些基本的概念和公式定理，从错误的源头去解决有关数学错误问题。例如，上述的例1就是对向量的夹角这个概念理解不够清楚造成错误的，如果平常我们能结合图形去学习向量的概念，那就非常的清楚知道共起点两个向量所在的两条射线所夹的角，能做到这样，这些错误就不会存在的。

（2）排除干扰信息。一些数学题特别是选择题有很多的信息，有些是利于我们解题的，有些是对我们解题有干扰的作用。我们如何才能正确的得出正确答案，那就需要我们利用特殊代替一般、数形结合、排除等数学思想和方法排除干扰信息，直奔主题，最后就可以得出正确的答案。例3：已知y=loga（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）

A、（0，1） B、（1，2）

C、（0，2） D、[2，+∞）

根据对数的概念我们可知对数的底不为1，我们可以排除C，然后根据特殊代替一般的数学思想，当x=1，a=3时，真数2-ax=-1与真数大于0相矛盾，也排除D，由于原函数的真数部分是由一次函数构成的，故原函数是一个复合函数，它的单调性与一次函数和对数函数的单调性有关，简单来说就是这两个函数的单调性相同，原函数单调递增，如果它们的单调性相反，原函数的单调递减。无论我们选A或B，一次函数是单调递减，据题意要原函数递减，对数函数只能是递增，那么对数函数的底数只能大于1，故答案选B。

（3）决策正确信息。决策正确信息是通过审题，对题目的一些重要的或者容易忽略的信息要着重加上标志，防止解题的时候会忽略或者搞错。例如上述例2就是一个很好的例子。学生错误就是没有在“直线l与y轴的交点”中的y做上标志，导致解题时，看成是“直线l与x轴的交点”而造成解题错误，因此决策正确信息是与与误判错误作“斗争”的一种重要策略。

二、与分析错误作“斗争”的策略

1. 分析错误的表现

因此学生也可以掌握放缩法的规律就是要变成f（n）-f（n+1）或者f（n-1）-

f（n）的形式才可以“裂项”相加。

2. “斗争”的策略

（1）吃透已知、所求。对题目的已知和所求都要清楚是什么、有什么样的特点，针对这些特点，我们该如何选取适当的解题方法进行解决。例4的这种错法就是一个很好的例子，学生就是没有吃透已知中的ω<0，还是按照原来的方法去求单调区间，那就会出错，而事实上求三角函数的单调区间则要求的是ω>0，学生能够吃透已知、所求就会很容易利用诱导公式将ω变为正，然后再求单调区间。

（2）监控逻辑过程。也就是解题时，过程要符合我们的数学逻辑，而不是简单的“形而上学”。例如数列的“裂项”求和，主要是通过“裂项”达到相消的目的。而例5中的裂成，表面上是没错，但是我们“裂项”的目的就是为了相消，而例5通过“裂项”根本没办法做到了，而要相消，分母就要变成f（n）-f（n+1） 这种形式，学生就会想到通过放缩的方法达到这种目的。

三、解题错误

1. 解题错误的表现

解题错误主要是指解题的思想和方法的策略不适当所造成的错误。解题策略不当通常是受到某种思维的干扰，而学生又没有对知识进行完善的归纳、小结，知道某些题的解法，认为所有题都是这样的解法，解题比较死板，不灵活。例如：在求函数的参数的取值范围时，经常用到的一种方法是分离系数法。但有时候用分离系数法去解决问题就比较困难。如例6：2015年的广州市一模的理科数学试题的第21题的第1问：已知函数，求出函数g（x）的最大值，则只需a大于g（x）的最大值即可。但问题是求函数g（x）的最大值的时候，首先要对g（x）进行求导，在求导的时候，相对就比较困难，求单调区间和极值、最值就更加困难，因此在这里采用分离系数法去解决问题不适宜。而正确的解题方法直接求导，结合分类讨论的思想，讨论单调区间，从而求出参数a的取值范围。

2. “斗争”的策略

（1）正确预评解题思想和方法。在审题之后，经过分析后，估计选用哪种方法或数学思想去解这个题比较适当。在例6中，虽然可以通过分离系数法简单的将a分离出来，但是利用导数求最值时，y=g（x）这个函数求导比较麻烦，所以我们还是直接求导利用分类讨论、数形结合的数学思想去解决比较简单。

（2）注意一题多解，能做到举一反三。我们在平时的解题中，要知道解决问题的数学方法和思想有哪些，这些解题的方法和思想有什么样特征，它们分别可以解决哪些问题，能做到举一反三。例如解决参数的取值范围的方法有分离系数法、直接求法、分类讨论和数形结合等方法。参数的次数是齐次，而且可以分离出来，且求导比较简单，通常用分离系数法；而不能分离或者分离出来以后求导比较麻烦，通常用直接法；而函数是我们熟悉的函数，通常我们可以借助函数的图像（数形结合法）去解决；有时有很多种情况，就要进行分类讨论。而例6虽然可以分离，但是求导比较麻烦，故我们还是选取直接法，经过变形后出现二次函数而且有很多种情况，故我们也选用分类讨论和数形结合的数学思想去解决。但如果我们的方法比较单一，我们只会分离系数法，解这个题的时候就会相当的麻烦了，这个就是我们提出一题多解的好处了。

四、表达错误

1. 表达错误的表现

表达错误是指由于学生解题作答的格式不规范或者语言表达不规范造成错误。有这样的一道简单的填空题，例7：函数f（x）=的定义域是 。很多学生都是填写“x≥1”的结果，那就出现错误，而出现错误的地方主要是定义域应该要写成集合或者区间的形式，但很多的学生会忽略了这种的语言表达形式。

2. 斗争”的策略

（1）注重表达错误收集。平常的学习中，要求学生对自己所犯或看到别的同学有表达上的错误要进行分类整理和收集，有些是经常出现的就要着重做好标记，便于自己随时查看。

（2）规范格式训练。有些数学的解题格式要非常规范，如果不规范，与我们的习惯相反，会带来不便，甚至有些会造成严重的错误。例如：在空间向量解决立体几何的问题的时候，要建立坐标系，有些学生并没有在图上标注或者用文字说明，直接就写出某些点的空间坐标，那就错了，坐标系都没建立，何来点的坐标呢？或者有些学生写一条线段中点的坐标，直接凭自己的直觉就写出来，这样就很容易错的，应该先写这条线段的两个端点的坐标，然后利用中点公式写出它的中点的坐标，错的机会就少很多。因此平常我们要在这个方面做好训练。

（3）注重语言表达。数学语言包括数字语言、符号语言、图形语言。在平常的作业、测验和考试中要求学生注意这些数学语言的表达，特别是填空题，就算会做，但由于语言表达不规范，一样不能得分。例如写函数的定义域或者值域的时候要写成区间或者集合的形式，例7就是一个例子。还有元素与几何的关系用“？缀、？埸”来表示，集合与集合的关系用“？奂、？劢、？哿、？勐、？埭”来表示。

五、定势错误

1. 定势错误的表现

由于学生从小学到高中，学了十几年的数学，形成一定的定性数学思维，在解题的时候还是按照普通的数学思维方式解行解答，导致在解题的时候有困难。如例8：设不等式2x-1>m（x2-1）对满足-2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围。像这类用“转换主元法”求参数的取值范围的题目，学生由于定性思维的阻碍，不善于“反客为主”，很容易把它看成关于x的不等式，利用分类讨论的数学思想就很难算到结果。但是反过来，如果把原不等式化为（x2-1）m-（2x-1）<0，记f（m）=（x2-1）m-（2x-1），（-2≤m≤2），它是单调函数，只需保证f（-2）<0和

2. “斗争”的策略

（1）防止定势干扰。在平时如果我们遇到一些数学题，按照一般的定性数学思维是难以解决，那我们就要排除定势干扰，改变方向，用逆向思维或者发散性思维去解决，就会出现“柳暗花明又一村”的感觉，其中例8就是一个例子。

（2）加强阅读，拓展视野。现在的数学高考除了考查基本的数学知识、思想和方法、基本的数学技能之外，还考查学生的阅读理解的能力。其中选择题和填空题的压轴题就是这样的，题目给出一些我们平常没见过的定义、概念、公式等，要求我们通过阅读给出的材料结合我们现有的数学知识去解决有关的数学问题。这就需要我们有一定的阅读能力，读懂题目的意思，按照题目的要求去解题，那阅读能力从何而来啊？就需要我们平常，加强阅读训练，拓展自己的视野，使自己站得高看得远。

（3）加强变式，灵活思维。我们通过改变某些已知条件对问题进行深入的探讨，从而帮助我们找出一些数学上的规律，从根本找到解决问题的方法，与此同时，也可以拓展我们的数学思维，使我们的数学思维变得更加灵活。

（4）加强发散，一题多解。在平常我们解题的时候，解决问题的方法不要单一，而是从不同的角度思考，用不同的方法去解决有关的问题。例如，解决立体几何中的二面角问题，很多人都用空间向量去解决，那我们有没有用几何法找出二面角再求出来？又或者其他的方法如射影面积法等去解决呢？通过研究我们还可以找出空间向量法和几何法的区别和它们的适用范围。那么我们以后碰到二面角的问题就会迎刃而解了，这个就是加强发散，一题多解的好处了。

六、“非智品质”导致错误

1. “非智品质”错误的表现

“非智品质”是指与智力和学科的基础都无关的一些因素，例如是兴趣、做题的态度等。

2. “斗争”的策略

（1）审题讲究认真。弄清楚已知条件是什么，要求什么，如果条件允许，将题目的已知和要求在图示标出来，这样就不会遗漏条件和看错题，而造成错误。

（2）做题讲究细致。我们做题时，尽量按照解题的步骤去解题，尽量做到在草稿上的运算区域要规范，便于做完后检查；计算要仔细， 解题在没有做到“稳、准、快”的程度尽量按照解题的步骤去解题，不要跳步。

（3）做题后讲究检查。我们要养成做完试题后检查的习惯，主要是检查我们有没有漏掉或者看错一些已知条件，计算的过程由没有出错等。

（4）做题后讲究验证。主要是指我们的解题方法有没有错，考虑的各个方面是否周全等。

因此，在我们的平常教学中，如果我们能够适当的运用方法，不但能帮助学生深刻理解数学知识的本质，还可以减少学生的错误，为和错题作“斗争”提供一定的资本。

总的来说，我们教师能够知道学生解题的错误的原因以及纠正错误的策略与方法，对提高学生的成绩和促进、改善我们教师的教学工作都非常有利，可以说这是一种双赢的局面。

（作者单位：广东省广州市花都区花东中学）