类比引领 问题驱动 自主探究

【关键词】教学设计;二项式定理;类比;问题;探究

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2015）30-0043-03

【作者简介】王伟，南京市第一中学（南京，210001）教师。

【教学过程】

一、创设情境，激发兴趣

师：在必修3课本中，有一道课后习题，我做了适当改编，请同学们思考。

（问题1）口袋中有形状大小相同的一只白球和一只黑球，先摸出一只球，记下其颜色后放回，再摸出一只球，记下其颜色后放回……（用a代表白球，b代表黑球），如果有放回的摸两次，共有多少种结果？

生1：枚举法，共4种，分别是aa，ab，ba，bb。

生2：利用乘法原理，2×2=4。

设计意图：传统教法中，《二项式定理》这节课往往由（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展开式归纳猜想（a+b）n的展开式。本节课，我通过把握新知与旧知的最佳结合点创设问题情境，从知识间的内在联系、逻辑发展入手，引导学生主动探究，从而通过知识的迁移形成新的知识，并通过摸球问题的引入为后续学习随机变量及其概率分布中二项分布做铺垫。

二、类比引领，问题驱动

师：如果有放回的摸三次球，共有多少种结果？

生1：由乘法计数原理，共8种。

师：哪8种？

生2：aaa，aab，aba，abb，baa，bab，bba，bbb。

设计意图：一个问题有多种解决方案，枚举法或者计算原理，复习旧知，凸显计算原理的优越性。

师：（问题2）在有放回的摸三次球所得的结果中，如果按照取出白球的个数进行分类，共有几类？每类有多少种结果？如何得到？

生1：共4类，分别是3个白球，2个白球1个黑球，1个白球2个黑球，3个黑球。

生2：每一类分别有1，3，3，1种情况，可以由上一问的8种结果得到。

生3：比如说得到2个白球1个黑球，就相当于在三次摸球中有两次出现了白球，可以由组合知识得到，用组合数表示为C■■种。

师：类似地，其他几类如何用组合数表示？

生4：分别为C■■，C■■，C■■。

师：通过对有放回的三次摸球的研究，你能联想到哪个公式？

生：完全立方公式。

师：展开式是什么？

生：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3。

设计意图：通过追问激发学生自主探究的欲望，并引导学生利用排列组合的知识解决相关问题。

师：（问题3）（a+b）3的展开式与有放回的摸三次球有何联系？请同学们四人一组讨论。

生1：展开式中各项系数和摸球问题中每类情况的种数一样。

生2：展开式中各项系数和为8，而摸球问题中共有8种情况，两者一样。

生3：感觉展开式中的项和摸球问题的每一类是一样的，比如a2b这一项相当于是摸出2个白球1个黑球，但说不清理由。

师：哪个同学能帮他解释一下？

生4：（a+b）3可以看成三个（a+b）相乘，展开式中每一项都是由每个括号中各取一个字母相乘得到，比如说要想得到a2b这一项，相当于在三个括号中有两个取a，一个取b，然后相乘得到，这和三次摸球问题中有两次取到白球一次取到黑球是一样的。

师：同学们刚刚的回答都找出了（a+b）3与三次摸球问题之间的联系，特别是最后一个同学，将（a+b）3的展开过程和摸球问题之间的等价关系分析得非常透彻。

设计意图：通过小组合作交流，引导学生化抽象为具体，将（a+b）3展开的过程和结果与摸球问题进行类比，找出两者之间本质的联系。

师：根据对三次摸球和（a+b）3展开式之间的联系，你能否写出（a+b）6的展开式？（学生黑板板书并说明理由）

生：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6。

师：请说明理由。

生：（a+b）6相当于六个（a+b）相乘，展开式中每一项都是由每个括号中各取一个字母相乘得到，如果每个括号中全部取a，得到a6，共C■■种，如果有五个括号中取a，一个括号中取b，得到a5b，共C■■种，依此类推，可以得到其他项。

师：（a+b）6的展开和摸球问题有何联系？

生：（a+b）6的展开相当于有放回的摸六次球，比如说a5b这一项，相当于六次取球中有五次取白球，一次取黑球。

设计意图：巩固（a+b）3的展开式的研究方法，自主探究特殊情况下（a+b）n的展开式，再次将展开过程与摸球问题进行联系，进一步体验展开式中每一项与每项系数的产生过程，为后续研究（a+b）n做铺垫。

三、自主探究，形成定理

师：我们已经探究了（a+b）3，（a+b）6的展开式，接下来研究一般情况，你能否写出（a+b）n（n∈N*）的展开式？

生：（a+b）n=C■■an+C■■an-1b+…+C■■bn。

师：请说明理由并说出（a+b）n展开式与摸球问题之间的联系。

生：（a+b）n相当于n个（a+b）相乘，展开式中每一项都是由每个括号中各取一个字母相乘得到的，如果每个括号中全部取a，得到an，共C■■种，如果有n-1个括号中取a，一个括号中取b，得到an-1b，共C■■种，依此类推，可以得到其他项。（a+b）n相当于有放回的摸n次球，比如说an-1b这一项相当于在n次取球中取出n-1个白球和一个黑球。

师：能否用一个统一的式子来表示展开式中的每一项？

生：C■■an-rbr。

师：r的取值范围是什么？

生：0≤r≤n，且r为整数。

师：刚刚探索的（a+b）n的展开式就是我们这节课所要学习的内容——二项式定理（板书课题）。

师：同学们刚刚对（a+b）n的展开式说明理由的过程就是对二项式定理的证明，二项式定理的证明采用“说理性”证明，我们通过PPT一起回顾一下（PPT展示证明过程）。

设计意图：通过类比（a+b）3，（a+b）6展开式的探究方法，由学生自主探究得出（a+b）n的展开式。二项式定理的证明采用“说理”的方法，培养学生类比推理及演绎推理的能力。

师：二项式定理的左边称为二项式，右边称为（a+b）n的二项展开式，请同学们思考，（a+b）n的二项展开式有何特点？

生1：各项系数具有对称性C■■=C■■，C■■=C■■…

生2：共有n+1项。

生3：各项都是n次。

师：各项字母是如何排列的？

生4：各项按照字母a的降幂排列，按照字母b的升幂排列。

师：字母的次数如何变化？

生5：字母a的次数从n次到0次，字母b的次数从0次到n次。

设计意图：让学生自主观察发现二项展开式的特点，加深对二项式定理及二项展开式的认识。

四、新知运用，巩固深化

师：学习了二项式定理，我们接下来看二项式定理的应用。

例1：利用二项式定理展开下列各式。

（1）（1+■）4;

（2）（a-b）6。

设计意图：通过简单应用掌握二项式定理，在解决（2）时应构造符合二项式定理的使用形式。

例2：在（1+2x）7的展开式中，求：

（1）第3项的二项式系数;

（2）第3项的系数，展开式的通项，区别二项式系数和项的系数。

师：求（a+b+c）6展开式中a2bc3的系数。

生1：（a+b+c）6=[a+（b+c）]6，第5项为C■■a2（b+c）4，（b+c）4的展开式中bc3的系数为C■■=4，所以a2bc3的系数为60。

生2：（a+b+c）6可以看成六个（a+b+c）相乘，要得到a2bc3这一项，相当于在六个（a+b+c）中有两个选a，还有四个（a+b+c）中有三个选c，一个（a+b+c）中选b，所以a2bc3的系数为C■■·C■■=60。

师：第一种解法是构造二项式定理的使用形式，然后由展开式得到a2bc3这一项;第二种解法则是类比（a+b）n的展开过程。

五、概括知识，总结方法

师：这节课我们学习了哪些知识？

生1：二项式定理。

生2：二项展开式的特点及二项式系数和通项。

师：这节课我们用到了哪些数学思想方法？

生1：类比转化，由有放回的摸球问题进而得到（a+b）n，这是一种类比转化的思想。

生2：先研究（a+b）3、（a+b）6的展开式，再探索（a+b）n的展开式，这是从特殊到一般的思想。

【教后反思】

一、立足学生，树立生本意识

《普通高中数学课程标准（实验）》指出，学生的学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式，但要注意的是，必须关注学生的主体参与、师生互动，教学中，应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与。可以说，缺少学生参与的课堂教学一定是低效的。一方面，教师应营造宽松的教学氛围，让学生有较多的展示机会;另一方面，课堂上教师应敢于放手，凡是学生能自己解决的问题，决不包办代替，凡是学生能自己思考的问题，决不进行暗示。

关注学生的主动参与，其背后是以学生为本的理念。本节课的教学为学生搭建了较为充分的平台。注重知识的形成过程，让学生有更多的参与机会，新知的建构比较自然，每一个教学环节的推进都是在学生思维的最近发展区进行的，更多的课堂时间留给学生思、算、答和板演。

二、设置问题，引领学生探究

“问题解决”是数学教育的核心，在课堂教学中设计“好”的问题是极其重要的。在每节课中，教师首先应努力做到给学生提供轻松愉悦的氛围和生动活泼的环境，将学生置于主动参与的位置;其次，问题的提出应从学生的已有经验出发，引起学生追求结论的欲望，激励学生大胆地通过独立思考与合作探究寻求解决问题的策略，在必要时进行适当引导;最后，还应对问题解决的方案进行反思、总结，归纳出问题解决的核心思想。

本节课从“摸球”问题开始探究，借助问题来推进教学。通过问题串的设计，创设良好的思维环境，引导学生以问题为主线，由问题驱动，使学生的思维始终处于“问题提出—问题解决”的状态中。经由教师引导，学生自主探究得到二项式定理。

三、立足课堂，传递学科价值

我认为，高中数学的学科价值在于以下三个方面：传递初等数学知识，进行逻辑推理训练，培养科学精神。通常，人们把微积分以后的数学称为高等数学，而把此前的数学称为初等数学。中学所讲的数学知识是学生在未来的工作与学习中所必需的基础数学知识。数学知识的连续性很强，要想学好高等数学，就得先学好初等数学。本节课的教学内容《二项式定理》在高等数学中的微积分、极限等知识中具有广泛应用。以上是传递知识层面的，数学的学科价值更为重要的是对青少年的心智潜能等方面进行深刻的、长远的开发与提升，这是其他学科所不能代替的。

数学的学科价值的另一个体现是能够对学生进行逻辑推理训练。本节课的教学设计中，学生通过对有放回的摸球问题的研究，进一步探究得到二项式定理，这本身就运用了类比转化的数学思想。由（a+b）2、（a+b）3、（a+b）6的展开式进一步得出（a+b）n（n∈N*）的展开式，这体现了从特殊到一般的数学思想方法。学生从数学课中培养起来的思考能力及推理能力，将伴随着他的终身。一个人分析问题、解决问题的能力和创新能力，对其日后的学习与工作是尤为重要的。

数学的学科价值还在于科学精神的培养，比如要求概念的准确无误与推理的严谨。科学精神的培养要求科学地提出问题，一堂好的数学课，当然应该生动、有趣、活跃。但这仅仅是一个手段，而不是我们的目的。仅仅是课堂气氛活跃，而讨论的问题没有价值，不能算一节好的数学课。数学是一门演绎学科，在课堂教学活动中，应把教学活动的重点放在概念的准确理解与逻辑推理上。中学数学中的概念大多容易被学生接受，所以，一般来说，没有必要设计一些特殊的场景在课堂上演示。

四、多元评价，发展学生学力

学力的培养、形成和发展离不开评价，因此，课堂上应建立相应的促进学生学力发展的评价机制。过去习惯的学业评价，其本质应是学生的“学力评价”，教育与教学的过程是学习者自身“发现意义”“建构意义”的过程，不能简单地归结为单纯的“知识记忆”“知识积累”。这就要求我们更多地倾向于过程性评价、发展性评价和个性化评价，强调评价的真实性，重视提升学生解决问题的能力，促进学生在学习中形成积极主动的学习态度。因此，教师应将教学评价贯穿于整个教学过程之中，关注教学过程中的活动与事件，尤其是学生在教学过程中的各种具体表现，这应成为评价教学效果的根本依据。

对学生在本节课中的表现进行评价，应关注以下几方面：（1）学生在小组讨论“有放回的摸三次球和（a+b）3的展开式的联系”这一问题的参与程度;（2）学生在课堂活动中的交流情况，具体表现为能否积极参与二项式定理的发现探究过程，能否及时表达自己的想法等;（3）学生思维水平的表现，如创造性、灵活性等。课堂教学的即时评价根本目的是促进学生的发展，不仅能有效地提高学生的学习兴趣，在学生心坎里播下希望的种子，而且能使学生明确今后进一步努力的方向。

数学作为一门科学，其实用价值已得到充分显示，然而，数学更是一种文化，渗透到人类生活的每一个角落。这决定了数学教育不仅要传授知识，还要培养能力、提高素质。在数学教学中，教师首先应更新自身的教育观念、改进教学方式、注重学习过程的评价，最终传递数学学科价值，发展学生学力。

（注：王伟执教的“二项式定理”一课获2015年“杏坛杯”苏派青年教师课堂教学展评活动特等奖）