数形结合思想巧解热点问题

朱季生

摘 要：数与形是数学中两个最基本的问题，它们在一定的条件下可以互相转化.数形结合是数学中非常重要的思想方法，华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直觉，形少数时难入微.”数形结合就是对题目中的条件和结论既分析其代数意义，又分析其几何含义，对于选择题、填空题，数形结合可起到直接解题的作用，在解答题中，则可以起到辅助解题的作用，从而达到事半功倍的效果.纵观多年的高考试题，利用函数图象处理问题的关键在于转化与构造.一般的，可以把问题转化为一次函数、二次函数、圆锥曲线或三角函数的图象性质问题加以解决.方程的解可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题得到简化.

关键词：数形结合；函数图象；代数；几何

一、巧解集合问题

在数学问题中，进行集合运算中常常借助对应的数轴、文氏图来处理集合的交、并、补等运算。从而使复杂的问题得以更加简单化，使运算更加快捷、明了，更快速有效.

例1.（2008北京卷，理1）已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x<-1或x>4}，那么集合A∩（CUB）等于（ ）

A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4}

C.{x|-2≤x<-1} D.{x|-1≤x≤3}

分析：不等式表示的集合通过数轴解答.

解：在数轴上先画出CUB{x|-1≤x≤4}，再画出集合A={x|-2≤x≤3}，取其公共部分，如图所示阴影部分就是集合A∩（CUB），故选D.

二、在基本初等函数中的应用

在解决一类不等式或方程问题时，直接解决十分困难，因此可以通过构造函数，结合函数的图象及不等式或方程表达的几何意义，利用数形结合法解.

数形结合思想是数与形的完美结合，是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在解决问题时我们既要考虑代数问题在形上的直观体现，又要考虑几何问题在数上的精确表示，达到“数形结合百般好，割裂分家万事非”的境界。

编辑 鲁翠红