“钉子板上的多边形”教学片断及评析

张志明

[摘 要] “钉子板上的多边形”是苏教版义务教育教科书五年级（上）108～109页的内容. 笔者在教学中的四个主要片断是：巧用前置，触碰规律；巧借猜想，探索规律；巧作验证，完善规律；巧设拓展，应用规律.

[关键词] 钉子板；多边形；触碰；探索；完善；应用；规律

笔者执教的一堂数学研究课的课题是“钉子板上的多边形”，现将研究课中的四个主要教学片断和简析整理如下.

巧用前置，触碰规律

师：（揭示课题）同学们，今天我们研究的课题是（板书）“钉子板上的多边形”.

（生齐读课题）

（屏幕上显示《预习单》）

1. 数一数、算一算、填一填

根据图1填下列表格：

2. 在钉子图上画两个多边形

师：昨天，大家已完成《预习单》，咱们一起将《预习单》中的相关数据解读一下. ①②③④号图形的面积数分别是2，3，3.5，4，②号图形的面积数3，怎么得到的？

生（齐）：算出来的，（上底+下底）×高÷2=（1+2）×2÷2=3.

师：③号图形的面积数是3.5，是怎么想的？

生1：分成上下（或左右）两部分，用梯形的面积加上长方形的面积.

生2：先补上一个三角形，用正方形的面积减去补上的三角形的面积.

生3：直接数格子.

师：行！钉子板上多边形的面积，既可以用学过的公式计算，也可以直接数格子. 下面请报告一下，①②③④号图形边上的钉子数分别是4，6，7，8，为什么都少数了一枚钉子？

生（齐）：因为都有一枚钉子不在多边形的边上.

师（追问）：它在多边形的哪里？

生（齐）：在多边形里面.

师：根据表格中的数据，大家发现了什么？

生4：多边形边上的钉子数越多，面积就越大.

生5：多边形的面积数是多边形边上钉子数的一半.

生6：多边形边上的钉子数是多边形面积数的2倍.

师：其实，这些不同的说法都是告诉我们（板书）S=n÷2，能举例表述吗？

生7：多边形边上的钉子数是4，多边形的面积数就是4÷2=2.

生8：多边形边上的钉子数是8，多边形的面积数就是8÷2=4.

生9：多边形边上的钉子数是10，多边形的面积数就是10÷2=5.

师：大家还在《预习单》中画了两个多边形，这里有3位同学的作品（屏幕上显示图2），这六个多边形都存在S=n÷2的规律吗？

生10：有两个多边形存在S=n÷2的规律，有4个多边形不存在S=n÷2的规律.

师：为什么呢？

生11：有两个多边形的里面都是1枚钉子.

师：你再说一遍.

生11：有两个多边形的里面都是1枚钉子.

师：噢，真的！它们的里面都是1枚钉子. 然而，4个多边形不存在S=n÷2的规律，它们的里面是几枚钉子呢？

生11：它们的里面有2枚的、4枚的、6枚的，还有一个多边形里面没有钉子.

师：里面不是1枚钉子的多边形，面积与边上的钉子数又有什么关系呢？让我们一起进入活动1，研究里面有2枚钉子的多边形.

简析？摇 “钉子板上的多边形”是苏教版义务教育教科书五年级（上）中安排的实践活动. 这一实践活动，既要引领学生得出结论，又要引领学生经历规律探索的过程，更要引领学生积累数学实践活动经验，从而培养学生科学严谨的数学态度，善于发现的数学眼光，归纳概括的数学能力. 对此，想在一个课时内完成教学目标，只能是教师带着学生蜻蜓点水、走马观花，既不可能完整体验知识的生长过程，也不可能完整经历知识的发展过程. 为了解决这一难题，考虑到学生针对“多边形里面有1枚钉子”时，很容易发现面积数和钉子数之间的倍数关系，这一内容完全可以前置，让学生通过完成《预习单》而触碰规律. 这样的话，就可以为新课的开始部分打开“绿色通道”，还可以把节省下来的宝贵时间用在探索后面更复杂的规律上.

巧借猜想，探索规律

（屏幕上显示《活动单1》）

（生读活动单1中“画一画，填一填”的要求后，各学习小组合作学习）

师：请各学习小组交流合作学习的成果（下面的n表示多边形边上的钉子总数）.

A学习小组：我们发现多边形里面有2枚钉子时，面积数是多边形边上的钉子数除以2再加上1.

B学习小组：我们发现a=2时，S=n÷2+1.

C学习小组：我们发现多边形里面有2枚钉子时，它的面积数是用边上钉子数与里面钉子数的和除以2.

D学习小组：我们发现a=2时，S=（n+2）÷2.

师（边讲边板演）：S=（n+2）÷2，用n与2的和除以2，如果把括号去掉，先用n除以2，那括号里的2也要除以2，S=（n+2）÷2=n÷2+2÷2=n÷2+1，尽管表达式不一样，但意思是一样的. 同学们，刚才我们研究了当a=1时，S=n÷2；当a=2时，S=n÷2+1. 现在，很多同学肯定有了大胆的猜想：当a=3时，S=？

生（齐）：n÷2+2.

（师板书：当a=3时，S=n÷2+2）

师（追问）：那当a=4时，S=？

生（齐）：n÷2+3.

（师板书：当a=4时，S=n÷2+3）

师（追问）：当多边形里面一枚钉子也没有，也就是a=0时呢？

（寂静片刻后，一学生说出了自己的猜想）

（师板书：当a=0时，S=n÷2-1）

这些都只是我们的猜想，还需要我们验证. 让我们一起进入活动2，亲自动手验证一下这3个伟大的猜想吧！endprint

简析？摇 此教学片断，重点突破了“当a=2时，S=n÷2+1”后，“趁热打铁”，让学生大胆猜想“当a=3时，S=？”“当a=4时，S=？”“当a=0时，S=？”. 猜想既是让学生发现数学知识的一种手段，也是让学生探索数学规律的一种策略. 培养和提高学生的猜想能力，不但有利于培养学生的探索精神、直觉思维、创新意识，发展学生的推理能力，而且有利于调动学生学习的自觉性和积极性，促使学生主动获取数学知识. “没有大胆的猜想，就不会有伟大的发现. ”人们通常把数学誉为科学的皇后，数论是数学的皇冠，数学皇冠上有一颗明珠，就是著名的哥德巴赫猜想. 总而言之，在此教学环节，巧借猜想，探索规律，恰到好处.

巧作验证，完善规律

（屏幕上显示《活动单2》）

（生读活动单2的要求后，各学习小组合作学习）

师：请各学习小组交流合作学习的成果.

A学习小组：我们小组验证后发现，当a=3时，S=n÷2+2.

B学习小组：我们小组验证后发现，当a=4时，S=n÷2+3.

C学习小组：我们小组验证后发现，当多边形里面没有钉子时，它的面积数是边上钉子数除以2再减去1，即当a=0时，S=n÷2-1.

师：同意这些发现的同学请举手！

（生纷纷举手）

师：那好！老师来考考大家，如果a=5，S=？

生（齐）：n÷2+4.

师：a=6，S=？

生（齐）：n÷2+5.

师：a=25呢？

生（齐）：n÷2+24.

师：a=100呢？

生（齐）：n÷2+99.

师：当多边形内有a枚钉子时，S=？

生（齐）：n÷2+a-1.

（师板书）

师：老师真诚地为大家喝彩，因为大家发现了“有史以来‘最重要的100个定理之一”. （播放录音：奥地利数学家皮克在1899年发现了这个规律，并进行了证明. 这个规律被称为“皮克定理”，这个定理被誉为有史以来“最重要的100个定理”之一）

简析？摇 数学学习不能停留于猜想，重要的是验证. 此教学片断，在学生亲自动手验证了3个伟大的猜想后，“一路高歌”，依次找到：a=5时，S=n÷2+4；a=6时，S=n÷2+5；a=25时，S=n÷2+24；a=100时，S=n÷2+99；一直找到“有史以来‘最重要的100个定理之一”的“皮克定理”（S=n÷2+a-1）. 此时，师生之间、生生之间，除了喜悦，还是喜悦；除了高兴，还是高兴；除了快乐，还是快乐. 这是因为，通过验证，说明那3个伟大猜想是合理的、正确的、科学的. 加之验证后的举一反三，学生对规律一目了然、一清二楚、一通百通. 特别是教师的真诚喝彩和播放录音，更是让学生沉浸在成功的欢乐气氛之中.

巧设拓展，应用规律

1. 出示智力冲浪A，即图3

图3中给大家提供了哪些信息？大家有什么想法？

生1：四角星的面积是：10÷2+5-1=9（平方分米），皇冠的面积是：10÷2+6-1=10（平方分米），皇冠的面积大.

生2：不计算也能比较，多边形边上的钉子数相等时，里面的钉子数越多，面积就越大.

2. 出示智力冲浪B，即图4

图4给大家提供了哪些信息？大家有什么想法？同座之间交流一下.

（同座之间交流）

师：请全班交流.

生1：哥哥觉得妹妹的面积大，是因为哥哥看的只是多边形边上的树.

生2：妹妹觉得哥哥的面积大，是因为妹妹看的只是多边形里面的树.

生3：哥哥的面积是15÷2+17-1=23.5（平方米），妹妹的面积是17÷2+16-1=23.5（平方米），哥哥和妹妹的面积一样大.

生4：在钉子板上看多边形面积的大小，既要看边上的钉子数，也要看里面的钉子数.

师：说得真好！请你再说一遍！

生4：在钉子板上看多边形面积的大小，既要看边上的钉子数，也要看里面的钉子数.

师：请大家复述一下.

生（齐）：在钉子板上看多边形面积的大小，既要看边上的钉子数，也要看里面的钉子数.

简析？摇 通常情况下，拓展是以智能活动引发出的认知活动、意志活动、情感活动和交往活动，需要学生全情投入，向自己的能力极限挑战. 此教学片断，教师两次引领学生投入智力冲浪，让学生在冲浪中应用规律. 冲浪A中，四角星的面积S=n÷2+a-1=10÷2+5-1=9（平方分米），皇冠的面积S=n÷2+a-1=10÷2+6-1=10（平方分米），皇冠的面积大. 冲浪B中，哥哥的面积S=n÷2+a-1=15÷2+17-1=23.5（平方米），妹妹的面积S=n÷2+a-1=17÷2+16-1=23.5（平方米），哥哥和妹妹的面积一样大. 这使学生深刻认识到：求钉子板上的多边形面积，既要找多边形边上的钉子数，也要找多边形里面的钉子数. 通过这样的拓展，既能提高学生发现问题的能力，又能提高学生分析问题的能力，更能提高学生解决问题的能力.endprint