寂然凝虑，思接千载，悄焉动容，视通万里

徐昊

摘 要：本文从《红楼梦》、自相似、分形、克隆等谈起，以一个常见问题为基础，提出进一步的问题，并将其推广为更一般的结论，通过不动点方法与复数理论将此类问题彻底解决。最后进一步介绍了此类问题的根本——布劳尔不动点原理，并介绍了其在生活及数学中的有趣应用。

关键词：自相似；函数迭代；递推数列；布劳尔不动点原理

《红楼梦》的第一句话是什么？很多熟读红楼梦的人却未必能回答出来。正确答案是“此本书第一回也”。

此话初看平淡无奇，但是仔细品味下来，似乎颇有些内涵。这句话的最大特点是它描述了自身，这种句子一般称为自描述语句，类似的汉语句子还有“三字经”“四字天书”等，英语类的自描述句子也很多，例如，“This sentence contains thirty six letters.”

自描述语句中最经典非“撒谎者悖论”莫属——“我在撒谎！”这句话没法判断对错。以前这类问题一直只是作为文字游戏和逻辑问题，直到20世纪初“罗素悖论”的提出以及哥德尔不完备性的证明后才被数学界和逻辑界广泛关注。

其实这种自包含性在实际生活中有着重要的应用，首先在分形几何上，自相似性是分形的本质特征，大家可以参照以下两幅图片。