Hölder不等式及其推广形式

徐建中

(亳州师范高等专科学校，安徽 亳州 236800)

随着不等式的广泛应用,数学中的一个重要不等式——Hölder不等式引起了广大专家学者的高度关注.Hölder不等式最初是以数列形式给出的，后由Riesz将其推广到积分形式，成为Lp空间理论的基本工具，而且在许多领域都是最常用的基本不等式.

1 Hölder不等式的形式

2 Hölder不等式的推广

证明 数学归纳法.

当k=2时，由定理2知其成立.下面假设当k成立时推证k+1时结论也成立.

根据归纳假设有

将此式代入上面的式子即得

所以，推广的Hölder不等式对任意函数均成立.

(1)

(2)

据此推知

(3)

(注：q<0时，限制a≥0,b>0)

(4)

(注：|ψ(t)|>0)

由式(4)成立可知(φ(x)ψ(x))r在E上Lebesgue可积，由此有(f(x)g(x))r在E上Lebesgue可积.

对式(4)两边积分有

于是有

(5)

将式(5)两边开r次方，则结论得证.

(6)

(7)

3 Hölder不等式的逆

‖f+g‖p≥‖f‖p+‖g‖q

(8)

那么

(9)

此式等价于

(10)

(11)

联立式(10)、(11)可得出

4 结束语

Hölder不等式有许多不同的形式，文中对Hölder不等式进行了简单的推广.综上所述，研究Hölder不等式其逆，意义就在于利用Hölder不等式解决一些更为复杂的问题.