Banach空间中一簇依中间意义渐近拟-φ-非扩张映像和平衡问题的强收敛定理*1

金坚帅, 倪仁兴

(1.浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004; 2.绍兴文理学院 数学系,浙江 绍兴 312000)

Banach空间中一簇依中间意义渐近拟-φ-非扩张映像和平衡问题的强收敛定理*1

金坚帅1,2, 倪仁兴2,1

(1.浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004; 2.绍兴文理学院 数学系,浙江 绍兴 312000)

在严格凸、一致光滑且具Kadec-Klee性质的Banach空间中,用混合方法建立了一无限簇依中间意义渐近拟-φ-非扩张映像和含松弛η-α-单调映像的混合平衡问题的强收敛定理.所得结论推广了近期文献中的一些已知结果.

依中间意义渐近拟-φ-非扩张映像;广义投影;平衡问题;松弛η-α-单调;不动点

0 引 言

设C是实Banach空间E中的一非空闭凸子集,E*是E的对偶空间.对任意的x∈E和x*∈E*,记x*在x的值为〈x,x*〉.记实数集和非负整数集分别为R和N.2003年,文献[1]引入了松弛η-α-单调映像的概念.对映像A:C→E*，若存在映像η:C×C→E,泛函α:E→R满足对任意t>0,z∈E,有α(tz)=tpα(z),其中p是大于1的常数,且对任意x,y∈C,有〈Ax-Ay,η(x,y)〉≥α(x-y)，则称映像A为松弛η-α-单调.最近,文献[2]研究了一种新的混合平衡问题:寻找x∈C,使得

式(1)中:Θ是C×C到实数集R的二元函数;f是C到R∪{+∞}的真凸函数;A是C到E*的一个松弛η-α-单调映像;η是一个C×C到E的映像.问题(1)的解集记为EP(Θ,A),即

EP(Θ,A)={x∈C|Θ(x,y)+〈Ax,η(y,x)〉+f(y)-f(x)≥0, ∀y∈C}.

易见,混合平衡问题(1)包含了最优化问题、最大最小问题、变分不等式问题等[3-4].2012年,文献[5]在严格凸、一致光滑且具Kadec-Klee性质的Banach空间中,构造了如下算法:

受上述工作的启发,本文在严格凸、一致光滑且具Kadec-Klee性质的Banach空间框架中,利用混合方法,证明了一依中间意义渐近拟-φ-非扩张映像无限簇和含松弛η-α-单调映像的混合平衡问题的强收敛结果.所得结果推广和改进了文献[2,5-8]等中的相应结果.

1 预备知识

设E是一实Banach空间,E上的正规对偶映像J:E→2E*定义为Jx={x*∈E*:〈x,x*〉=‖x‖2=‖x*‖2},∀x∈E.设E是一光滑Banach空间.定义泛函φ:E×E→R:φ(x,y)=‖x‖2-2〈x,Jy〉+‖y‖2,∀x,y∈E.由φ的定义易得

定义1[9]若F(T)≠Ø,且φ(p,Tx)≤φ(p,x),∀x∈C,p∈F(T),则称T为拟-φ-非扩张映像.

定义2[10]若F(T)≠Ø,且φ(p,Tnx)≤(1+μn)φ(p,x),∀x∈C,p∈F(T),n≥1,其中序列{μn}⊂[0,∞)满足μn→0,n→∞,则称T为渐近拟-φ-非扩张映像.

注11)渐近拟-φ-非扩张类映像是拟-φ-非扩张类映像的推广;

定义3若F(T)≠Ø,且

则称T为依中间意义渐近拟-φ-非扩张映像.

注2依中间意义渐近拟-φ-非扩张类映像是依中间意义渐近拟非扩张类映像[14]在Banach空间框架中的推广.

为解决混合平衡问题(1),需假设Θ:C×C→R满足下列条件:

(C1)对任意的x∈C,Θ(x,x)=0;

(C2)Θ是单调的,即对任意的x,y∈C,Θ(x,y)+Θ(y,x)≤0;

为证明本文的主要结果,需下面一些引理:

引理1[15]设E是一光滑的Banach空间,C是E的一非空闭凸子集.若x∈E,x0∈C,则

x0=ΠCx⟺〈x0-y,Jx-Jx0〉≥0, ∀y∈C.

引理2[15]设E是一光滑、严格凸、自反的Banach空间,C是E的一非空闭凸子集,x∈E,则

φ(y,ΠCx)+φ(ΠCx,x)≤φ(y,x), ∀y∈C.

引理3设E是一致光滑、严格凸和具Kadec-Klee性质的Banach空间,C是E的一非空闭凸子集,T:C→C是一闭的依中间意义渐近拟-φ-非扩张映像,则F(T)是C中一闭凸子集.

证明F(T)的闭性由T的闭性很容易得出.下面主要证明F(T)是C中的凸子集.事实上,∀p,q∈F(T),t∈(0,1),令w=tp+(1-t)q,由φ的定义得

0≤φ(w,Tnw)=‖w‖2-2〈w,JTnw〉+‖Tnw‖2=

‖w‖2+tφ(p,Tnw)+(1-t)φ(q,Tnw)-t‖p‖2-(1-t)‖q‖2≤

‖w‖2+t[φ(p,w)+ξn]+(1-t)[φ(q,w)+ξn]-t‖p‖2-(1-t)‖q‖2=

2‖w‖2-2〈w,Jw〉+ξn=ξn.

‖w‖2-2〈w,e*〉+‖e*‖2=‖w‖2-2〈w,Je〉+‖Je‖2=

‖w‖2-2〈w,Je〉+‖e‖2=φ(w,e).

注3注意到渐近拟-φ-非扩张映像必是依中间意义渐近拟-φ-非扩张映像,反之不然,故引理3是文献[5]引理2.3中仅对渐近拟-φ-非扩张映像成立的结果的本质推广.

引理5[2]设E是一严格凸的、一致光滑的Banach空间,而C是E的一非空闭凸子集,A:C→E*是一η-次连续的松弛η-α-单调映像,二元函数Θ:C×C→R满足条件(C1),(C2)和(C4),f:C→R∪{+∞}是一下半连续的真凸函数.设r>0,对任意x∈E,定义映像Tr:E→C为

假设

i)对任意x,y∈C,η(x,y)+η(y,x)=0;

ii)对任意给定的u,v∈C,映射x|→〈Av,η(x,u)〉是凸的、下半连续的;

iii)α:E→R是弱下半连续的,即对任意的网{xβ},xβ在σ(E,E*)上收敛于x,推得α(x)≤lim infα(xβ);

iv)对任意x,y∈C,α(x-y)+α(y-x)≥0;

v)对任意z1,z2,y∈C和t∈[0,1],

〈A(tz1+(1-t)z2),η(y,tz1+(1-t)z2)〉≥t〈Az1,η(y,z1)〉+(1-t)〈Az2,η(y,z2)〉.

则下列结论成立:

1)Tr是单值的;

2)Tr是一强非扩张型映像,即对任意x,y∈E,有〈Trx-Try,JTrx-JTry〉≤〈Trx-Try,Jx-Jy〉;

3)F(Tr)=EP(Θ,A);

4)Tr是拟-φ-非扩张映像,且对任意w∈F(Tr)和x∈E,有φ(w,Trx)+φ(Trx,x)≤φ(w,x);

5)EP(Θ,A)是闭凸的.

2 主要结论

证明 分8步来证明定理1.

2)证明Cn(n∈N)是闭凸集.由C0=C知C0是闭凸的.假设对h≥1,Ch是闭凸的,下证Ch+1也是闭凸的.由构造可得Ch+1是闭集,因此只需证明Ch+1的凸性.事实上,对∀a1,a2∈Ch+1,有a1,a2∈Ch,且

由φ(x,y)的定义知,对∀t∈(0,1),有

由Ch是凸的知,ta1+(1-t)a2∈Ch.注意到式(7)等价于

因此,Ch+1是凸的,从而Cn(n∈N)是闭凸集.

3)证明对任意n∈N,F⊂Cn,从而序列{xn}是良定的.显然,F⊂C0=C,假设F⊂Ch.由引理5中的4)知Trn是拟-φ-非扩张的.又对∀i≥1,Ti是依中间意义渐近拟-φ-非扩张映像,所以对∀w∈F⊂Ch,有

因此，w∈Ch+1.这表明对任意n∈N,F⊂Cn.

(8)

4)证明序列{xn}有界.由序列{xn}的定义及引理2知,对∀w∈F⊂Cn,有

φ(xn,x0)=φ(ΠCnx0,x0)≤φ(w,x0)-φ(w,ΠCnx0)≤φ(w,x0).

因此，φ(xn,x0)有界.由式(2)可知{xn}有界,从而由Ti:C→C的依中间意义渐近拟-φ-非扩张映像的定义可得{Tnixn}也有界.

5)证明当n→∞时,xn→x*.因为E是一致光滑Banach空间,所以E*是一致凸Banach空间且E是自反的.这样由{xn}有界,可设xn⇀x*.注意到Cn是闭凸的,可知x*∈Cn.这样由xn=ΠCnx0可得φ(xn,x0)≤φ(x*,x0).利用‖5‖的弱下半连续性,有

由E具Kadec-Klee性质得,xn→x*,n→∞.

故{φ(xn,x0)}是单调不减的有界序列,从而φ(xn,x0)的极限存在.由引理2有

由此得

而xn+1=ΠCn+1x0∈Cn+1⊂Cn,所以

又由式(3)有

结合式(12)和式(13)得

0≤φ(xn+1,un)≤[φ(xn+1,xn)+φ(xn,Sxn)+2〈xn+1-xn,Jxn-JSxn〉]+φ(xn+1,xn)+ξn≤

2φ(xn+1,xn)+φ(xn,Sxn)+2‖xn+1-xn‖‖Jxn-JSxn‖+ξn.

所以{Jun}有界.由于E和E*都是自反的,所以不妨设Jun⇀u*∈E*.由E是自反的,有J(E)=E*.可推得存在u∈E,使得Ju=u*.注意到

φ(xn+1,un)=‖xn+1‖2-2〈xn+1,Jun〉+‖un‖2=‖xn+1‖2-2〈xn+1,Jun〉+‖Jun‖2,

0≥‖x*‖2-2〈x*,u*〉+‖u*‖2=φ(x*,u).

un→x*,n→∞.

由于‖xn-un‖≤‖xn-x*‖+‖x*-un‖,所以

由于J在任意有界子集上一致范-范连续,因此

另一方面,

φ(w,xn)-φ(w,un)=‖xn‖2-‖un‖2-2〈w,Jxn-Jun〉≤

‖xn-un‖(‖xn‖+‖un‖)+2‖w‖‖Jxn-Jun‖.

由式(15)和式(16)得

所以{JSxn}有界.由于E和E*都是自反的,所以不妨设JSxn⇀v*∈E*.由E是自反的,有J(E)=E*.可推得存在v∈E,使得Jv=v*.注意到

φ(xn,Sxn)=‖xn‖2-2〈xn,JSxn〉+‖Sxn‖2=‖xn‖2-2〈xn,JSxn〉+‖JSxn‖2,

0≥‖x*‖2-2〈x*,v*〉+‖v*‖2=φ(x*,v).

上意指x*=v,有v*=Jx*,可得JSxn⇀Jx*∈E*.由于E*具Kadec-Klee性质,结合式(18)可得

再由J-1:E*→E的次连续性和E具Kadec-Klee性质,得到Sxn→x*,n→∞.由于‖xn-Sxn‖≤‖xn-x*‖+‖x*-Sxn‖,所以

由于J在任意有界子集上一致范-范连续,所以

另一方面,

φ(w,xn)-φ(w,Sxn)=‖xn‖2-‖Sxn‖2-2〈w,Jxn-JSxn〉≤

‖xn-Sxn‖(‖xn‖+‖Sxn‖)+2‖w‖‖Jxn-JSxn‖.

由式(20)和式(21)得

并由条件E为一致光滑可得E*必为一致凸的.这样,由式(8)和引理4,对任意的w∈F,有

因此,αn0αnig(‖JSxn-JTnixn‖)≤αn0[φ(w,Sxn)-φ(w,xn)]+[φ(w,xn)-φ(w,un)]+ξn.

从而

注意到‖JTnixn-Jx*‖≤‖JTnixn-JSxn‖+‖JSxn-Jx*‖,并由式(19)和式(23)得

注意到‖Tn+1ixn-x*‖≤‖Tn+1ixn-Tnixn‖+‖Tnixn-x*‖,并由Ti的渐近正则性和式(25)得

φ(un,yn)=φ(Trnyn,yn)≤φ(w,yn)-φ(w,Trnyn)≤

αn0[φ(w,Sxn)-φ(w,xn)]+[φ(w,xn)-φ(w,un)]+ξn.

运用前述相同的方法,可得

yn→x*,n→∞.

由于‖un-yn‖≤‖un-x*‖+‖x*-yn‖,所以

由于J在任意有界子集上一致范-范连续,所以

注意到

由条件(C2)和引理5的条件i)可得

〈Aun,η(un,y)〉+f(un)-f(y)+Θ(y,un), ∀y∈C.

(27)

因为rn≥k>0,∀n≥1,所以由条件(C4)和引理5的条件ii),式(26)和式(27)得

0≥〈Ax*,η(x*,y)〉+f(x*)-f(y)+Θ(y,x*), ∀y∈C.

对任意0

由条件(C1),(C4),引理5的条件i),ii),f的凸性,式(28)得

0=Θ(yt,yt)+〈Ax*,η(yt,yt)〉+f(yt)-f(yt)≤

t[Θ(yt,y)+〈Ax*,η(y,yt)〉+f(y)-f(yt)]+(1-t)[Θ(yt,x*)+

〈Ax*,η(x*,yt)〉+f(x*)-f(yt)]≤t[Θ(yt,y)+〈Ax*,η(y,yt)〉+f(y)-f(yt)].

即Θ(yt,y)+〈Ax*,η(y,yt)〉+f(y)-f(yt)≥0.设t↓0+,由条件(C3)、定理5的条件vi)和f的下半连续性得Θ(x*,y)+〈Ax*,η(y,x*)〉+f(y)-f(x*)≥0,∀y∈C.因此,x*∈EP(Θ,A).从而x*∈F.

8)证明x*=ΠFx0.因为xn=ΠCnx0,所以由引理1得〈xn-z,Jx0-Jxn〉≥0,∀z∈Cn.由F⊂Cn知

〈xn-w,Jx0-Jxn〉≥0, ∀w∈F.

在上式中令n→∞,得

〈x*-w,Jx0-Jx*〉≥0, ∀w∈F.

由引理1有x*=ΠFx0.定理1证毕.

1)对映像从一簇拟-φ-非扩张拓广至一簇依中间意义的渐近拟-φ-非扩张;

2)对Banach空间从需一致凸和一致光滑减弱至仅需一致光滑、严格凸且具Kadec-Klee性质.

值得指出的是,定理1还多方面改进或推广了文献[2,7-8]等中的相应结果.

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(责任编辑 陶立方)

Strongconvergencetheoremsforaninfinitefamilyofasymptoticallyquasi-φ-nonexpansivemappingsintheintermediatesenseandequilibriumproblemsinBanachspaces

JIN Jianshuai1,2, NI Renxing2,1

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China; 2.DepartmentofMathematics,ShaoxingUniversity,ShaoxingZhejiang312000,China)

Via using the hybrid method, strong convergence theorems were established for an infinite family of asymptotically quasi-φ-nonexpansive mappings in the intermediate sense and mixed equilibrium problems with a relaxedη-α-monotone mapping in a strictly convex and uniformly smooth Banach space with the Kadec-Klee property. The results presented extended and improved some recent known results.

asymptotically quasi-φ-nonexpansive mapping in the intermediate sense; generalized projection; equilibrium problem; relaxedη-α-monotone; fixed point

10.16218/j.issn.1001-5051.2015.02.007

2014-11-07

国家自然科学基金资助项目(10971194);浙江省教育厅科研项目(Y201122300)

金坚帅(1990-),男,浙江嵊州人,硕士研究生.研究方向:数值分析;非线性泛函分析.

倪仁兴.E-mail: nrx1964@163.com

O177.91

A

1001-5051(2015)02-0163-09