多元表征理论指引下的解题教学——浅谈对高三复习中审题的认知分析

崔佳方

（江苏省苏州实验中学）

崔佳方

（江苏省苏州实验中学）

数学教学很大程度上就是问题解决的教学，尤其是高三复习阶段的教学。在现今的高考模式下，很多学校都安排一整个学年（甚至更长时间）进行复习，都很注重夯实基础知识，通过大量训练促进思想方法的领悟，但是效果总有不尽如人意的地方。常常出现反复练、反复讲的题目隔了一段时间又不会的现象，碰到稍微新一点的题目又往往手足无措。究其原因，一方面是基础知识思想方法掌握的欠缺，另一方面是学生对数学问题的理解认识不到位，也就是审题方面出了问题。这两方面都是与学生对数学对象的认知程度的深浅有密切关联的，前者依赖于对概念的合理表征从而形成深刻系统的知识结构及方法体系，后者侧重于根据已有的知识经验对数学命题进行意象的多元建构及灵活选择，从而发现解题思路。本文就这两个方面结合笔者在教学实践中的体会作一些探讨，希望能够抛砖引玉。

一、概念的多元表征促进思想方法的渗透

数学中的问题都是围绕概念构成的，要想深入理解问题，必须先对题中的关键概念进行合理表征。而实际上，在大多数情况下数学概念的内在表征又并非相应的严格定义，而是一种由多种成分组成的复合物，包括相应的心智图象，对其性质及相关过程的记忆以及具体的例子等。因此，教师应最大限度地唤醒学生头脑中的这些意象，并根据题目的要求引导学生对不同的心理表征进行联系转换，帮助学生形成科学严谨的思考方式，渗透数学思想方法。

案例1：已知函数y=ax2－x－1 只有一个零点，求实数a 的取值范围。

高中数学中函数零点的严格定义是这样的：一般地，对于函数y=（fx），我们把方程（fx）=0 的实数根x 叫作函数y=（fx）的零点。即函数的零点就是使函数值为0 的自变量的值。学生在刚学这个内容时，已经形成了一些感性的认识，容易引起误解的是很多人把零点看成函数图象与x 轴的交点，这是定势思维所带来的不良影响，但通过后续的学习和老师的强调，会纠正这个错误，在他们的头脑中会形成一个稳定的印象，零点不是点，而是函数图象与x 轴交点的横坐标，这是图形的观念，另一方面，要求出这个坐标，必须解相应的方程，即（fx）=0 的根，这是数的观念。从图形角度来研究，讨论该函数的图象形状（直线或抛物线）、开口方向，结合图象过定点（0，-1），可知有三种情形：a＞0 时，不合题意；a=0 时成立；a＜0 时，Δ=0，得a=-。从方程角度来研究，a=0 时一次方程只有一根符合题意，a≠0 时，二次方程有两重根，即Δ=0。这也充分体现了函数与方程的密切联系，渗透了数形结合的思想。此外，从代数角度而言，方程可以作很多同解变形，可以等价转化为其他的等式形式，如ax2=x+1，a=，前者的几何意义是动曲线和定直线交点的横坐标，后者的几何意义是动直线与定曲线的交点横坐标，通过代数形式的转化，使得函数零点的身份从函数曲线与x 轴的交点横坐标推广到一般意义下两个函数图象交点的横坐标，极大地丰富了零点概念的内涵和外延，同时也渗透了数形结合、化归、转化等数学思想方法。

由此可见，通过对概念间的不同表征成分的分析联系转换，帮助学生用发展的观点看待静止的概念，使得枯燥单调的数学概念变得“鲜活”起来；用联系的眼光去整合学生已有的知识经验和新学的概念，形成更高水平的知识建构，这样的学习才是生动活泼的，才是意义长远的。

二、数学命题的合理表征培养思维的深刻性

在高三教学中，经常会出现一讲就懂、一考就懵的情形，这就说明很多学生对知识技能基本掌握，但遇到问题时，不太会分析题意，往往审题不清，陷入迷茫境地。那么如何审题，也就是如何对数学命题进行表征是至关重要的。学生必须先细致全面地掌握问题的条件和结论，分析题目的结构特征，才能通过联想激活已有的知识和经验，探索解题的思路。

案例2：设不等式mx2-2x-m+1＜0 对于满足-2≤m≤2 的m 值都成立，求x 的取值范围。这是一个常见的主元转换的问题，解法也很简单，但学生往往不易掌握，可能会记住解法，短时间内进行模仿操作，时间一长就容易遗忘。从表征理论来看，教师应引导学生对题目形成一些初步的认识。

（1）这是一个不等式恒成立问题。

（2）m 在区间［-2，2］上变化，即m 可以是区间［-2，2］上的任意一个值。

接下来关键是对m 与x 的关系进行研究，当x 取某个值时，命题成立等价于m 取遍［-2，2］上的任意一个实数时，不等式恒成立，从而有了更深的认识。

（3）相对m 变化时，x 是不变的。（即参量为x，变量为m）

（4）mx2-2x-m+1 是m 的函数。令f（m）=mx2-2x-m+1，即f（m）＜0 在-2≤m≤2 时恒成立，求参数x 的取值范围。

至此，本题的难点得到突破，问题的本质得以揭示，但从帮助学生达到更高思维活动水平这个角度来看，我们还可以从已有的知识经验中激发联想出更丰富的表征形式。

（5）问题符号化表征为∀m∈［-2，2］，f（m）＜0 是一个全称命题，如何将无数个f（m）与0 进行比较，这使得我们很容易联想到图象这个表征方式，由此得到f（m）的图象是一条线段这个事实，从而形成最简的解法

（6）与已有的活动经验相联系，这样的题目是很常见的，如∀x∈［-2，2］，mx2-2x-m+1＜0 恒成立，求m 的取值范围。

通过比较对照，可以发现变量与常量的确立不是由字母形式确定的，而是由给出范围的字母确定的，从而突出了这类题的本质，强化了主元思想。

通过这些有序展开的认识活动，我们可以发现在审题时对问题作出的表征会直接影响问题解决的方式和难易程度。因此，从问题的特点出发，合理地对问题作出表征，通过各种形式的表述，逼近问题的本质，才能真正高效地解决问题。而我们遇到的数学问题，大部分都是用符号语言来表述的，这也是由数学学科的高度抽象性所决定的，所以我们要做的就是对数学符号进行准确的翻译和理解，化抽象为具体直观，可能刚开始这样的翻译是模糊的、不严格的、不精确的，甚至有所偏差，但是通过一次次尝试自觉反思可以找到解题的正轨，如上面案例中“mx2-2x-m+1＜0 对于满足-2≤m≤2 的m 值都成立”，我们可以尝试对这个问题的一般性进行具体化，可以对m 在-2≤m≤2 时取几个值，得到具体的几个关于x的不等式，发现最终的某个x 值要符合要求必须满足无数个不等式，也就是m 在-2≤m≤2 时任取一值时对应的这些不等式，从而发现相对m 变化时，x 是不变的，也就确立了m 为主元的思想。很多时候我们都可以对复杂抽象的问题进行具体化、特殊化，虽然有时不太严谨，但对我们发现问题本来的面貌，进而得到解题的突破口是大有帮助的。另一方面，学生对同一问题的表征是很个性化的，他们往往会根据自身的知识经验对问题进行重组和整理，教师要引导他们对问题信息和已有经验进行合理的联系、科学的整合，帮助他们超越原有的知识经验，建构更高水平的知识结构。这些过程同时也极大地丰富了学生在学习中的思维活动，有效地提高了学生的思维能力。

高中数学课堂教学本质就是基于问题解决的教学，高三阶段的复习尤其如此，要让学生掌握知识，更要帮助学生灵活运用知识解决问题，形成科学的思维方法，这对学生实现短期目标以及长远发展都是很重要的。而达成这一目标的教学载体就是对数学对象的合理表征，这也是学习活动的起点，不管是概念的表征还是命题表征，我们要旨在多元化的表述问题，在联系中研究，在比较中感悟，全方位、多角度地思考问题，有效培养学生的求异创新思维，提升学生的数学能力和素养。

郑毓信.多元表征理论与概念教学［J］.中学数学教学参考，2011.