谈排列问题中的一些基本策略和方法技巧

李志强

（吕梁市职业中等专业学校）

谈排列问题中的一些基本策略和方法技巧

李志强

（吕梁市职业中等专业学校）

排列问题是数学中相对独立性较强的一部分，也是联系实际应用性较强的一部分，具备概念性强、灵活性强、思维方法新颖等特点。学习和掌握一些基本解题思路，除了灵活运用基本原理和公式进行解答外，还要注意一些基本策略和方法技巧。

数学教学；排列问题；解题方法技巧

排列是数学中的重点也是难点之一，也是进一步学习概率的基础和解决具体问题的工具，体现的数学思想主要是：化归思想、分类讨论思想和模型化思维方法，对培养学生的逻辑思维能力，开发智力，提高数学思想素养有很大的帮助，下面具体谈谈在教学中的几点建议。

一、特殊优先，一般在后

对于问题的特殊元素，特殊位置要优先安排，在操作时，针对实际问题，有时元素优先，有时位置优先。

例1.四名男生，三名女生排成一排，按下列要求有多少种不同的排法？

①甲、乙两人排在两端，②甲、乙两人不得排在两端。

分析：①由于甲、乙必须排在首末两位，因此先把甲、乙特殊元素优先安排，故有=240种方法。

②因为甲、乙不得排两端，因此两端必需排其他元素，可看作位置优先，两端排法共有=20种方法，剩余中间五个位置可以排甲、乙，共有=120种方法，故一共排法有=2400种。

二、合理分类，准确分布

我们知道分类与分布是两个计数原理的应用，合理分类、准确分步是确保问题的前提，有时需要分类，有时需要分步，并且之间交叉进行。

例2.用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的①五位奇数，②大于40000的五位偶数，③能被5整除的五位数。

分析：①要排五位奇数，首先考虑五位奇数中0的存在，这需要考虑有0或无0，因此需要分类，一类不含0，有=8400种，另一类含0（不能排首位），有=13440种方法。

②对于这个问题属于分类与分步互相渗透的一个题，必须先分类，再对每一类进行分步，一类分首数4、6、8，先确定首位数，然后再排个位数，则有种，二类分首数5、7、9，一共有，所以一共有种方法。

三、元素相邻，捆绑处理

对于元素相邻排列的问题，可以把相邻元素捆绑看成一个大的元素，再与其他元素进行排列，同时要对相邻元素之间进行自排。

例3.五个男生，四个女生站成一排，要求四个女生必须站在一起，有多少种不同的排法？

四、间隔排法，插空解决

对于某n个元素不相邻的排列问题，可先将其他无限制条件的元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。

例4.四名男生，三名女生排成一排，要求三名女生不相邻或四名男生不相邻，共有多少种排法？

五、顺序一定，除法处理

对于某些元素的顺序的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列。

例5.五名男生，四名女生排成一排，四名女生顺序一定，共有多少种排法？

分析：对于这种情况，四名女生顺序是一定的，只能说明女生之间的排列是一种情况，因此应该用除法，排列总数为=15120种排法。

六、元素分排，直排处理

把n个元素排成若干排列的问题，若没有其他特殊的要求，可采取统一排成一排的方法来处理，对于每排的特殊要求要分段考虑。

例6.将八人分成两排，前排五人，后排三人，有多少种排法？

分析：对于此类型的排列问题，可把每排的首位相连排成一排，进行全排列，一共有种排法。

七、环状排列，剪断直排

n个人围成一圈的排列，对于环状排列我们可想象成是这n个人手拉手的排列，可采用剪断直排法，由于n个连接点，故有n种剪断的方法，一共有种排法。

八、正难则反，间接处理

对于一些排列问题，正面情况解决复杂，而其方面情况较简单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其他方面情况的排列总数，就是应该的结果种数。

例7.用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中3不在末尾的数，共有多少种？

分析：用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成无重复数字的三位数有个，3排在末尾的情况有个，减去这种不符合条件的排法数，故一共有=84种。

通过以上解题思路的学习，我们对解决排列问题有了钥匙，这些技巧和方法不是孤立的，而是相互依存、互相利用的，同学们只有对基本方法解题策略熟练掌握，根据它们的使用条件，根据不同的技巧就可以得到解决，才能进一步提高解题的综合能力。

严道顺.例谈排列组合问题的常用技巧和方法［J］.中国科教创新导刊，2010.

·编辑 段丽君