实际问题与一元一次方程

◆于海源

(河北省承德市兴隆县小东区中学)

在新课改的倡导下，更加注重学生数学能力的提升，注重培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，一元一次方程是初中数学教学中非常关键的内容，学好一元一次方程就好比打通了数学教学的重要通道，对于提升学生的数学思维能力具有重要的作用。为此，笔者重点总结了一元一次方程的基本过程，并做了重点的研究分析，归纳了一元一次方程在解决实际问题方面应该注意的内容。

一、一元一次方程的主要类型和基本过程

在七年级数学教学中，一元一次方程主要是这种类型:未知数是一个的一元一次方程，比方说，如果未知数是x，则一元一次方程的形式就是ax+b=c，在这个方程中，a 不能为零，b 和c 为有理数。同理，如果未知数是y，或者其他的未知数，则一元一次方程就ay +b=c，或者用其它的数去代替，同样的道理，a 不能是零，b 和c 可以是任意的有理数。

一元一次方程的基本过程为:先设未知数，再根据等量关系去列方程式，第三步解方程，其中未知数的系数要简化为1。那么，在解决实际问题的过程中如何运用一元一次方程呢?其基本的过程也是相同的。首先根据实际问题先设未知数，在根据实际问题中的等量关系列好方程，解方程，并在最后要检验方程的结果。

一元一次方程运用到实际问题中，主要体现在以下几个方面:(1)运用一元一次方程如何解决增长率的问题;(2)解决个人所得税的计算问题;(3)运用方程接受税费的计算问题;(4)运用方程去解决路程的问题。

二、运用一元一次方程解决实际问题应注意的问题

一元一次方程的解析主要体现在实际的运用中，只有在实际操作中才能体现一元一次方程的价值，在具体的方程运用中，应注意以下几点:

(1)如果方程的两边有同类项，先要移项，这是解方程的第一步，并且在移项的过程中要注意符号的变化;(2)如果方程的左右有括号的话，要先去括号，在去括号时要注意相应的规则;(3)如果方程中两边系数是分数，要首先去掉分母，化成整数后再计算;(4)如果方程的一边有同类项，首先要合并;(5)方程中未知数的系数要化为1。下面具体举一些例子来论证。

例如，通过一元一次方程来计算水费的问题。例1:当前，我国大部分城市水资源非常匮乏，国家倡导要节约用水，减少水资源的浪费，为此许多城市规定了水费的使用标准，其中某一城市规定每一用户每个月的用水量，如果不超过标准量按没立方米2.5 元收取费用，超过了规定的标准量将按照每平方米5 元去收费。大亮全家五月份的用水量为9 立方米，交水费35 元。此题问该城市规定的每一用户的标准用水量是多少?

具体解析:由于2.5 ×9=22.5 ＜35，所以，9 立方米已经超出了该市每户用水的标准量。其等量关系是:总费用=标准用水费用+超出的用水量费用

解:设每一用户的用水标准量为x 立方米。因为2.5 ×9=22.5 ＜35，因此，大亮家用水量超出了该市的标准用水量，根据题意可以得出:

2.5x+5(9—x)=35

首先去括号，得出:2.5x+45—5x=35

再移项，得出:2.5x—5x=35—45

第三步，合并同类项，得出:—2.5=—10

最后，将系数化为1，得出:x=4

答:该城市中制定的每一用户的标准用水量是4m3。

例2:运用一元一次方程解决路程的问题。

王五和李三二人分别从王庄和李庄两地相向而行，已知王庄和李庄相距158 千米。王五从王庄先30 分钟出行，后来李三也从李庄出发，李三每小时比王五多走6 千米，一个小时以后王五和李三相遇。问王五和李三分别走的路程为总路程的多少?

具体解析:由题干中可知试题中总路程是不变的，因此具体关系为:总路程=王五走的路程+李三走的路程

解:假设王五每小时走x 千米，那么李三每小时走(x +6)千米，根据题干可以列出方程:

30/60x+(x+x+6)×1=158

首先，去分母，得出:30x+60(2x+6)=158 ×60

再去掉括号，得出:30x+120x+6 ×60=158 ×60

第三步是移项，得出:30x+120x=158 ×60 -6 ×60

最后，合并同类项，得到:150x=9120

这时可以得出结论:x=60.8

最终，可以通过计算的方式，得出王五和李三分别走的路程是总路程的几分之几。

另外，一元一次方程通过转化也可变为一次函数，例如，在方程ax +b=c 中，b 和c 是有理数，并且a 不可以是零。如果将a 看成q 的时候，x 当成自变量x、c 当成因变量y 的时候，一元一次方程ax+b=c 变成了一次函数y=qx+b，在这种情况下用一次函数也可解决实际的应用题。

同理，一元一次方程也可以变为二元一次方程。例如，当把方程ax+b=c(a 不能为零)中的b 看作另一未知数的时候，比方说e、f、g、h 等其中的一个数时，ax+b=c 就可以变ax+e=c、ax+f=c、ax+g=c、ax+h=c(这些方程中a 和c 可以不取同一个值且是任意的有理数)等。当同样的实际应用题中由存在一个不确定值变为两个时，这时就可以把原来的一元一次方程转化为二元一次方程解决有关问题。

还可以用同样的方法，将一元一次方程转化为三元一次方程。例如，如果把一元一次方程ax+b=c 中的b 当作是e、f、g、h，这时任何两个未知数相组合时，ax+b=c 就可以转化为ax+e+f=c、ax+f+g=c、ax+g+h=c 等。如果同样的实际应用题中由存在一个不确定值变成三个的时候就可以把一元一次方程转化为三元一次方程去解决有关问题。同样的道理，在应用一元一次方程解决实际问题时，可以转化为N 元一次方程，从而一次类推，去解决实际问题。

总之，用一元一次方程去解决实际问题是数学教学的关键，广大数学教师要将一元一次方程作为数学教学中的重点内容去对待，主要是在教学中引导学生学会归纳和总结，提高学生用方程解决实际问题的能力，对于提高学生的数学能力具有重要的意义。

［1］徐斌艳.数学课程与教学论［M］.浙江教育出版社，2003.

［2］蒋红梅.数学《用方程解决问题》案例及反思［J］.语数外学习(数学教育)，2012，(12).

［3］苏长卫，朱灿梅.初中数学应用题教学实践——“实际问题与一元一次方程”教学案例［J］.凯里学院学报，2009，(06).

［4］人民教育出版社中学数学室.人教版《义务教育教科书·数学》(7～9 年级)总体介绍(续)［J］.中学数学教学参考(中旬)，2012.