一题多变的多解性问题

彭依林

波的多解性问题历来是高考中的一个热点，同时，又是学生学习波的一个难点所在。造成理解难的原因是学生对波的多解性问题的原因不明确，或者说理解得不够透彻。现在我就通过一题多变的形式，让大家深刻地认识造成波的多解性的原因所在。

例：一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点相距8 m，b点在a

点的右方。当一列简谐波沿此绳向右传播时，若a点位移达到正向最大值，b点位移恰好为零，且向下运动。若波的波长大于8 m，经过1s后，a点位移第一次变为零，且向下运动，而b点的位移恰好达到负向最大值，则这列波的波速为多少？

解答：由题意可得，3＼4Y=8 m，t＼4=1s

所以，V=Y＼T=8＼3 m/s.

变式一：若把原题中的波长大于8 m取消，那波速为多少呢？

解答：T/4=1s，考虑到波在传播的空间上具有周期性：

有（n+3/4）Y=8 m，其中n为0，1，2，3，4…，则波速V=Y/T=

8/（4n+3）m/s.

变式二：若把a点的位移第一次变为零改为位移变为零，则波速又为多少呢？

解答：由题意有，3/4Y=8 m，考虑时间上的周期性则有：（n+1/4）T=1s，故波速V=Y/T=8（4n+1）/3 m/s.

变式三：若把a点的位移第一次变为零改为位移变为零，并同时取消波长大于8 m的条件，则波速为多少？

解答：考虑波传播的时间、空间的周期性有：a、b两点间的距离可写成：（n+3/4）Y=8 m，其中n为整数a点回到平衡位置经过的时间为：（m+1/4）T=1s，其中m为整数则有波速V=Y/T=8（4m+1）/（4n+3）.

变式四：取消原题中波向右传播的波长大于8 m的条件，并把a点的位移第一次变为零，该位移变为零，则波速又该如何计算呢？

解答：这时候需要考虑波传播的双向性，波向右传播时就是上面变式三的情况；波向左传播时，则有：a、b之间的距离可写成：

（n+1/4）Y=8 m，其中n为整数a点回到平衡位置经过的时间为：（m+1/4）T=1s，其中m为整数则有波速V=Y/T=8（4m+1）/（4n+1）.

通过这一题多变的形式，我们可以总结出造成波的多解性的原因有以下几个方面：

（1）波的传播方向的双向性：波可能沿+x也可能沿-x。

（2）波的空间周期性：沿波的传播方向上，相差波长整数倍的质点在同一时刻的振动位移相同，其振动速度、加速度也相同，或者说他们的振动“相貌”完全相同。这样，在同一波線上，某一振“相貌”势必会不断重复出现，这就是机械波的空间的周期性。波的空间周期性说明相距为波长整数倍的多个质点振动情况完全相同。

（3）波的时间周期性：在x轴上同一个给定的质点，在t+nT时刻的振动情况与t时刻的振动情况相同。因此，在t时刻的波形图，在t+nT时刻会重复出现，这就是机械波的时间的周期性。波的时间周期性，表明波在传播的过程中，经过整数倍周期时，其波的图像相同。

（4）波形的不确定造成的多解：在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态。这样，波形就有多重情况，相关波动问题就有多解。

最后我想说的是，对于波的多解性问题，只要学生理解并掌握造成波的多解性的原因，然后认真分析题意，对症下药，问题一定会迎刃而解的。

参考文献：

陶幼明，刘涛.一题多解培养学生创新思维能力[J].继续教育究，2011（04）.

编辑 郑 淼