小学数学概念教学从困惑走向敞亮

承萍

鉴于小学生的身心发展规律，很多小学数学概念在教学时，教材都采取用具体、直观的例子或生动的语言进行描述。像这些面对有些生活中就自然形成的概念，如线段、射线和直线；周长；面积；平移和旋转；体积和容积等，看似简单，要讲清楚却非常困难。

一、场景描述：令人困惑的小学数学概念教学

现象一：看似简单就一定好理解吗？

平移和旋转是两种常见的运动方式。作为两个基础性的数学概念，苏教版数学从三年级上册就开始教学《平移和旋转》，教材中对平移和旋转没有给出任何严格的定义，而是从生活实例出发，引出了平移和旋转。看似简单，理解起来却没那么轻松。往往到了六年级，让学生画出某平面图形绕某点顺时针或逆时针旋转90度后的图形时，仍是错误百出。常见的生活原型怎样才能转化为精确的数学模型呢？

现象二：表达不清就一定是不理解吗？

对周长概念的理解到底应该达到怎么样的地步？仅仅是要求能指出物体表面的周长，还是应该能用抽象的语言来进行描述？苏教版数学三年级上册《周长的认识》中对周长的描述全部是从具体的实例出发，图文结合。笔者一开始对本课教学目标的定位是希望学生到最后能用抽象的语言进行描述，即：平面图形的周长，是指围成物体表面一周边线的长度。但在课堂上却发现这样的语言描述对学生来说实在是太困难了。他能用手准确地指出这一周的边线，但是始终不能从语言的高度进行抽象概括。数学概念一定要用抽象的语言概括吗？

现象三：表达清楚就一定理解了吗？

苏教版数学六年级上册《体积与容积》中指出：“物体所占空间的大小叫作物体的体积。容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。”这样的描述性语言，对六年级学生来说，表述不成问题。但往往后来，在解决综合性问题时，学生仍然会表面积与体积不分，体积与容积混淆，而在解决等积变化相关问题时更会张冠李戴。什么才是对数学概念的真正理解呢？

二、根源探究：教师难教、学生难理解，症结何在

透过以上场景，可以看出对于一些概念，无论是教师的教还是学生的学，都存在一些问题。笔者分析认为，主要有以下三方面原因。

1.小学数学概念的特点与严谨数学存在偏差

在整个小学阶段，由于数学概念的抽象性与学生思维形象性的矛盾，许多概念是用一些生动、具体的语言对概念进行描述的。如类似于数学中的点、线、体这样的原始概念以及一些比较难理解的概念，像圆、圆柱、圆锥、平移和旋转等。

张奠宙教授在《小学数学中若干科学性问题的探讨》一文指出：小学阶段“面积”“体积”等概念，很大程度上只是一种描述，是生活中自然而然形成的。如果一旦强求概念的表述，反而比理解概念本身更困难，陷入越解释越糊涂的地步。

这就迫使我们在进行概念教学时，对学生理解概念的程度心中需要有一把尺，明白到底怎样的理解才算真正的理解。而在实际教学时，教师往往自身对概念的理解就存在问题，对要求学生概念理解的程度不能有效掌控，教与学均陷入两难。

2.儿童语言表达与数学语言描述之间缺乏桥梁

斯托利亚尔指出：“数学教学就是数学语言的教学。”学生思维的过程需要语言，思维的成果也需要用语言表达出来。正确、规范的数学语言表达，能促进学生对数学知识的理解和内化。

由于年龄特点，小学生的生活语言表达已有相当的发展水平，而科学语言描述相对处于较低的水平。因此，在具体的生活语言表达与抽象的数学语言描述之间，需要给学生搭建阶梯，帮助学生拾阶而上。

教学中，我们不难发现，小学生认识事物需要经历“充分感知—建立表象—形成结论”的过程。只有经历了大量直观材料的感悟，反复操作，进行有条理的思考，才能对结论的合理性作出具有说服力的说明。这就需要教师在概念教学中，为学生构建概念的阶梯，促进他们实现生活语言向数学语言的转化。但在实际教学中，教师往往不能从学生的角度出发，或概念脱节，或概念大跃进，这样学生的数学语言表达必然成了大问题。

3.语言的生活意义与数学意义之间存在矛盾

小学数学概念由于大多数本身来源于生活，因此单从字面上理解并不是很难。恰恰是因为它看似直观，因此对以直观思维为主的儿童来说就具备了一定的迷惑性。生活意义上的直观与数学思想的微观，如不能有效统一，那么对概念的理解只能浮于表面。

如生活中可以说我的“位置”大，你的“位置”小，“位置”有大有小，可是数学中的“位置”是一个确定的方位，本身没有大小；在描述长度、面积、体积、容积时的“大小”时，学生从生活意义上理解就是有大有小，而数学中的“大小”是指可以进行测量、描述和比较的。

这就使得学生在理解一些数学概念时，儿童认知中的生活意义与其本身的数学意义发生矛盾。这时教师如果仅仅纠缠于文字层面的表述，却不能合理引导，将这些生活语言转化为数学语言，凸显其数学意义，就会造成学生理解的混乱，自然数学的味道也就越来越淡了。

三、理想追寻：触及概念教学中的数学本质

笔者认为，教学概念时既不能囫囵吞枣，也不能轻描淡写，以至于本可以生动有趣的数学变得枯燥乏味，学生更是学得一头雾水。概念教学，有必要淡化概念的形式，更要尊重学生的直觉，并触及数学的本质，唯有如此，才能寻找到教学的出路。

1.审视定义，关注数学的本原

波利亚曾指出：“只有理解了人类是如何获得某些事实或概念的，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断。”作为一名数学教师，有必要从数学史、教育心理学、哲学等多方面去思考教学的本原，使数学学习于具体中见理性，于浅显中见深刻。

例如，在“百分数”的教学中，教师更多的应该是关注百分数就是表示一个数量是另一个数量的百分之几，表示两个数量之间的倍比关系；在“面积”的教学中，教师更应关注的是它们本身的特性：可测性、正则性、可加性、顺序性等；学习“平移旋转”概念时，如果不能清晰地理解在运动过程的点、线段、角、图形等对应关系及其在运动中的不变性，那么终究不能深入概念的本质；对于负数的理解，教师如果不能帮助学生打通负数的意义与0的认识之间的桥梁，不能清晰地明白0界点的意义，那么负数始终也就是一个带负号的数而已。

2.充分感悟，尊重儿童的数学直觉

人的直觉是很宝贵的。爱因斯坦直截了当地说：“我信任直觉。”充分运用直觉学习数学，是数学学习，特别是小学生数学学习的一条准则。许多概念大都是通过直观渗透、具体描述、举例方法等给出的，由于它的直观性，在学习中直觉就显得尤为重要。小到多少、大小，大到长度、位置等这样的非常原始的概念，小学里主要是诉诸直觉。

如笔者在教学《面积单位》，给予学生充分的时间思考“用什么作为面积单位比较合适”时，学生首先想到统一的实物的面，紧接着马上自我否定，发现应该用统一的图形的面去测量，更可喜的是良好的数学直觉还告诉他们，在统一的图形的面中，用长方形、正方形、三角形的面测量会更好一些。不难发现，学生的直觉和思考已经帮助学生感受到了应该用小面积来测量大面积。

3.放慢镜头，无痕教学显现思想

教学时，教师对概念的有效分解，凸显关键字词的意义，放慢镜头，对于帮助学生搭建概念的阶梯，彰显概念背后的数学思想，有着必不可少的推动作用。

如笔者在教学《体积认识》一课，处理“物体所占空间的大小叫作物体的体积”这个描述性概念时，先让学生直接用手势比划一下什么是“桃子占的空间”来理解“空间”的含义，实现二维空间到三维之间的转换；然后让他们理解物体所占的空间是有大小的，是可以进行测量的；接着出示几个同样大小的长方体摆成的不同形状的物体，让学生说说谁的体积大，为什么？（理解同一个物体，无论它的位置和形状发生了怎样的变化，体积是不变的）判断一斤铁块和一斤蚕茧，谁的体积大，为什么？（理解体积的大小只与所占空间的大小有关）最后出示一根黄瓜和一个西红柿，问谁的体积大，你能设计出什么样的实验方案（发展学生灵活解决问题的能力）。在整个概念教学中，将“体积”概念依次进行分解，注重处理好操作和理解的过程，让学生感受体积的特征，远比实际语言的描述更具有意义。

4.练习辨析，凸显概念数学本质

尤西斯金教授曾指出了数学概念理解的五个要素，其中灵活应用概念解决问题是概念理解的一个重要维度，因此对概念的练习辨析就显得尤为重要。

如笔者在教学《百分数的认识》时，设计了一组这样的练习：

（1）出示两杯同样的果汁：

这两杯果汁一模一样，都含80%橙子汁。在这里，80%表示什么？

（2）将其中一杯果汁倒掉半杯，这杯果汁中含橙子汁还是80%吗？

（3）将这两杯果汁混合倒入一个大杯，大杯中橙子汁还是果汁总量的80%吗？

（4）追问：在刚才的操作过程中，什么变了？什么却是始终不变的？

引导得出：果汁总量和橙子汁的总量都在发生变化，但是橙子汁与果汁的比率却是不变的。所以不管怎样，始终都含有80%的橙子汁。

（5）如果想让杯中橙子汁的含量降到60%，你觉得可以怎么操作？如果想让杯中的橙子汁含量达到90%呢？

（6）思考：现在你对百分数有什么新的认识？

在整个练习中始终引导学生在“变”与“不变”的对比中辨析，准确理解不管怎样变化，百分数就是表示一个数量是另一个数量的百分之几，从而加强对百分数概念本质的理解。

正如西南师范大学老校长陈重穆先生所说，数学教育需要“淡化形式，注重实质”。唯有如此，小学数学的概念教学才能真正实现从困惑走向敞亮。