理性思考 自然生长

王介锁

《数学课程标准》（2011年版）在总目标中指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生要能“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，即“四基”，并将基本数学思想界定为抽象思想、推理思想和模型思想。那么，如何在教学中体现呢？前不久在一次市级观摩课中，余栋梁老师执教的《用字母表示数》一课给我们作了很好的示范。

一、抽丝剥茧，逐步抽象

抽象是数学研究的基本方法，数学研究的是抽象的概念以及它们间的相互关系，即从具体内容中抽象出来的形式、结构和数量关系。通过抽象，人们把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象。

《用字母表示数》是学习代数知识的重要内容，对四年级学生来说，内容较为抽象与枯燥，教学有一定难度。从物的个数抽象出自然数是学生思维的一次巨大飞跃，这需要经历一个过程，而从具体的数抽象到用字母表示数，是又一次飞跃。

余老师课始和学生做了个游戏：算24点。出示：10、6、7、A四张牌，让学生算，学生说出了10+6+7+1=24；10-6=4，7-1=6，4×6=24；10-7+1=4，4×6=24等方法。然后提问：这里的1从哪里来？学生说A就表示1。余老师让学生经历实际问题中的用字母表示数，让学生感到，我们学习的就是我们身边的数学。这样，学生在具体的学习活动过程中领悟了用字母表示数的目的和意义，也真正体会了用字母表示数是代数思想的本质所在，很自然地把学生带入了从现实朝着抽象的启蒙了。

接着，余老师巧妙地安排了例1的教学：

（1）研究：（变化，数量关系，相同的数量可以用不同的字母来表示）

首先出示用小棒摆1个三角形，让学生边看边思考三角形个数和小棒根数之间的关系，提问：摆1个三角形，用几根小棒？

接着出示摆2个三角形，问：摆2个三角形要用多少根小棒？怎么样列式呢？（2×3）

摆3个、4个三角形呢，各要用几根小棒？（9根、12根）能列出乘法算式吗？（3×3、4×3）说说你的想法。

你发现规律了吗？可以同桌讨论讨论。（摆几个三角形，小棒根数就有几个3；小棒根数总是三角形个数的3倍。）这里的3是什么意思？

如果继续摆下去，还有这样的规律吗？你准备摆几个三角形？（5个）用几根小棒？（5×3）（……能说得完吗？能不能想一个简单的办法把无论摆多少个三角形的情况都包括进来呢？摆n个、摆x个、摆a个……也就是说可以用字母来表示）

为什么想到用字母来表示呢？（太多了，各种各样的情况，说不完，用字母就把这些都包括了或概括了）

用a表示三角形的个数，那么小棒的根数是多少？（a×3）你是怎么算的？（三角形的个数×3=小棒的根数）

想一想，这里的字母a可以表示哪些数？（很多数、任意数）具体说说看？（1、2、3、4、5…）他说的这也叫任意的——（整数）自然数。我也说一个，1.2行吗？（不行，a表示三角形的个数，只能是任意的自然数，不能是小数。）所以，字母a在这里就表示任意的自然数。那么，你觉得字母在这里还表示一个不变的数吗？（不是，可以变化。）对，变化的数我们可以用字母来表示。（板书：变化）

（2）运用（同一情境中，不同的数量要用不同的字母来表示）。

练习十八：1.笔记本的单价是a元/本。你会根据这个条件填写下表吗？

这里的a表示——笔记本的单价，也就是笔记本每本的价钱，可以是哪些数？小数行不行？学生填表指名口答：a×7，a×10，a×18，根据什么？（单价×数量=总价）

后面还有一个，让你去买，你准备买多少本？（50、100，结合前面的内容，想一个简单的办法，把所有的情况都概括在内呢？b本）想一想，为什么这里用b来表示买的本数，而不用a呢？（笔记本的单价是a元，a已经表示笔记本的单价了）

师：在同一问题中，一般用不同的字母来表示不同的数量。

就这样，通过循序渐进地逐步深入，让学生在现实情境中去理解、感悟、体会字母能够表示任何数，相同的数量可以用不同的字母表示，字母还能表示数量之间的关系等，逐步抽象，发展学生的符号感，让学生逐步学会用代数的思想方法分析和解决问题，体会其优越性。

二、循序渐进，有序推理

思维形式有三种，即形象思维、逻辑思维和辩证思维。逻辑思维的集中表现是逻辑推理，数学学科内部的发展依赖的就是逻辑推理。

鉴于小学生的思维以形象思维为主，由形象思维逐步向逻辑思维过渡的特点，余老师在经过例1的教学铺垫的基础上，在例2的教学中渗透了推理思想。

（1）出示题目：甲、乙两地之间的公路长280千米，一辆汽车从甲地开往乙地。你能用式子表示行驶了一段路程后剩下的千米数吗？

课件演示：一条线段表示甲、乙两地之间的公路长280千米，（红色箭头）从甲地往乙地：已经行驶了50千米，剩下的千米数是（280-50）；已经行驶了74.5千米，剩下的千米数是（280-74.5）；（红色箭头显示）从甲地往乙地，已经行驶了（ ）千米，（对，不知道行了多少千米，也就是未知量可以用字母来表示，说说看。）（板书：未知）剩下的千米数是（ ）-（ ），为什么这样列式？（总路程-已行路程=剩下路程）

想一想，这里的b又可以表示哪些数？可以是小数吗？（可以表示整数，也可以表示小数）能是大于280的数吗？（可以是0或280吗？应是0到280之间的数）字母表示的数有时候有一定的范围。

（2）如果b=120，剩下多少千米？怎么想的？

小结：字母的值确定，含有字母的式子的值也就确定。

（3）运用。

练一练：根据“玲玲和妈妈谈论年龄”的对话填写下表。

猜一猜：玲玲多少岁？也就是说玲玲的年龄是变化的，那根据刚才的经验，你能想个办法表示任意一年玲玲的年龄吗？（用字母来表示）如果用a来表示玲玲的年龄，你能知道妈妈的年龄吗？（不能，因为不知道她们之间的关系。用字母可以，用含有字母的式子行吗？）好的，出示妈妈的年龄a+28，你还能想到什么？那你知道玲玲和妈妈的年龄有什么关系？在这里，a+28不仅表示妈妈的年龄，还表示妈妈比玲玲大28岁这种关系。如果a=10，妈妈多少岁？如果a=40呢？如果a=400呢？（不行，人的年龄是有限的）好了，如果妈妈b岁呢？想一想，玲玲多少岁？这里的b-28不仅可以表示玲玲的年龄，还表示玲玲比妈妈小28岁这种关系。

以上三个环节中，每一个操作设计都在为学生的有效推理提供平台，每一句问话都是在启动学生的思维，引发学生的思考，助推学生的推理。

三、还原真实，建构模型

任何领域的研究最终都希望形成概念、探寻规律性的东西。用数学的语言表述概念、描述规律既简洁又准确，这就是人们常说的数学模型。对小学生来说，数学模型就是连接学生所学的数学知识与他们所处的生活场景之间的纽带。

纵观整节课，尽管学生没有进行过有关代数知识的学习，但余老师展示了大量学生所熟悉和喜爱的现实材料以及设计精妙的问题提供给学生，让学生在直观的视觉活动和细致的分析思考中理解问题的情境、分析问题的逻辑、领悟问题的实质、掌握解决的办法，从而很清晰地理解用字母可以表示一个数，也可以根据数与数之间的关系含有字母的式子表示另一个数，即用含有字母的式子表示数量之间的关系，从而建立含有字母的式子的模型，自然地促进学生由算术思维到代数思维的过渡。这个过程中，学生经历观察、发现、归纳、讨论交流等，学生不仅获得了解决问题的结果，也体验到了自主解决问题的种种乐趣。比如：通过摆小棒的情境，让学生体会用字母和含有字母的式子表示数的目的和意义，展示用字母表示数的优越性；利用多媒体课件的直观优势，把汽车从甲地到乙地的行进过程展示在学生眼前，让学生知道用字母表示数的时候，有时是要考虑一定的范围的；通过“玲玲和妈妈谈论年龄”这个学生感兴趣的活动，让学生从最简单的加、减法数量关系开始，初步学会用含有字母的式子表示数量的方法，等等。

数学的基本思想为把现实生活引入到数学知识体系（即生活数学化）和把数学知识运用到现实生活中指导生活实践（即数学生活化）提供了思维功能，准确地把握这个功能对数学教学以及学生的数学成长是很有好处的。因此，在数学教学过程中渗透数学思想是我们每个数学老师应该关注的，也是必须做的。