平行光透过折射率线性变化介质的传播规律

刘开源

(鞍山师范学院 物理科学与技术学院, 辽宁 鞍山 114007)

0 引言

近年来，光学技术运用的研究成为一个非常活跃的研究领域，光线的汇聚、发散以及成像问题得到广泛研究，而这些光信号的处理要求用光来控制光，这使得光学介质的作用显得尤为重要[1-5].目前计算机模拟系统在现代光学、光学测量等光学研究上得到了充分的运用[6-9].本文用数值模拟的方法定量地研究平行光在折射率线性变化介质中的传播轨迹，并给出光束出射介质后的一些特点与性质，为线性变化介质中光路的设置提供参考依据.

1 理论基础

如图1所示，考虑一矩形光学介质，折射率n沿y轴对称分布为n(y)=n0(1-A|y|)，其中n0为y=0处的折射率，A为折射率的变化率.一束单色光沿x轴方向射入介质内.我们应用光的折射定律研究光线传播的规律.

1.1 光线在介质内的传播轨迹

图1 矩形光学介质Fig. 1 Optical medium in the shape of rectangle

为了应用折射定律确定光线轨迹方程，根据图2分段进行研究.把介质分成许多与x轴平行的薄层，其中在E处，厚度为dy的任意一薄层的折射率为n.光线通过该薄层后的折射角为θ，同时也是入射下薄层的入射角, 则由折射定律和几何关系，有

nEsinθ0=n1sinθ1=…=nisinθi=….

(1)先考虑x∈(0,x0)的情况.

由于nE=n0(1-A|L|)且此时L>0，因此有

由图2可得

图2 光线在介质中的传播路径Fig. 2 Propagation path of rays in the medium

在该区间内(下同)，当y=0时，

(2)再考虑x∈(x0,2x0)的情况

由于在x=x0时，y=-L，此时光线恰好平行于y轴，折射率nF=n0(1-A|-L|)=n0(1-AL).此时，由图2可知,

综合以上所求的各部分光线轨迹，得到光线在介质中的轨迹方程为

由对称性可直接写出光线从点E′(0,-L)垂直于y轴入射的情况.最终可得，当光线从点(0,L0)入射时(L0为实数，有正负)，光线在介质中的轨迹为

n=0,1,2,3,….令

光在介质中传播的过程中，当光线轨迹的图像位于x轴上方，即y>0时，

当光线轨迹的图像位于x轴下方，即y<0时，

1.2 光线透过介质后的传播轨迹

光从介质中出射的情况有4种，见图3.图3中的tanγ=g′(a).

图3 光从介质中的出射情况Fig. 3 Exit of rays from the medium

由光的折射定律，得：

n0(1-A|g(a)|)sin|γ|=sinβ.

当γ>0时，出射光线的方向为tanβ；当γ<0时，出射光线的方向为tan(-β)=-tanβ.所以光线透过介质后的传播轨迹

y=sgn(γ)tanβ(x-a)+g(a).

其中tanβ=n0(1-A|g(a)|)sin|γ|，

2 数值模拟与结果讨论

通过以上数学公式，对平行光通过矩形光学介质的光线轨迹进行模拟.

2.1 平行光透过矩形介质的情况

矩形光学介质参数如下：中心处折射率n0=1.5，折射率的变化率A=0.01 cm-1，介质宽度D=20 cm，介质长度L=10 cm或L=100 cm，介质外光线传播距离Lr=100 cm.根据以上参数所成的矩形介质模型的光线仿真结果如图4和图5.

图4 矩形介质的长度为10cmFig. 4 Length of rectangle medium, 10 cm

由图4可以看出，如果将一个物体放在图中光线重叠的区域，这个物体将不会产生影子，可以和医学上的无影灯相比.另外，一束平行光通过介质后被分为两束平行光，在光学实验中与分束镜具有相同的作用.

从图5可以看出，平行光在介质内外均没有实交点，但出射光线的反向延长线汇聚出虚交点.为了更清楚地了解虚交点，把其他光线滤掉，得到图6和图7.从图6和图7可以看出，出射光线斜率递减的光线能够汇聚出一个虚交点.

图5 矩形介质的长度为100 cmFig. 5 Length of rectangle medium, 100 cm

图6 滤掉无关光线后Fig. 6 After filtration of unrelated rays

图7 出射光线的斜率图Fig. 7 Slope plot of emergent rays

2.2 介质前有一个点光源的情况

由图8可以看出，光线没有确切实或虚交点，但有“虚交点”的密集区，因此在“虚交点”区域应该可以看到点光源模糊的虚像集.另外，出射光线出现较好的发散情形.

图8 点光源通过矩形介质的情况Fig. 8 Pointolite passing rectangle medium

3 结论

本文运用几何光学的知识研究了线性介质对平行光线的汇聚与发散情况，理论推导了光线的轨迹，并对光线透过线性介质后的汇聚、发散以及成像问题进行了探讨.数值模拟结果表明：介质的长短以及折射率的变化对光线具有良好的汇聚与发散作用，并能出现虚交点.另外，由于自然光有多种成分，所以如果是自然光通过折射率线性变化介质后，会呈现出五彩斑斓的彩色条纹，可以用来做装饰品.对现实生活中灯具的制作或实验室中某些光学仪器的改进也具有指导意义.