遵循认知规律 关注思维发展

赵国防

[摘 要]小学阶段的分数认识分两个阶段来进行，其原因何在？分数的再认识究竟认识些什么？认识到何种地步为最佳？结合对分数教学的实践与研究，对上述问题做出简要的梳理与回答。

[关键词]分数 学生 认识 思维 活动

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）20-015

在小学阶段，分数的认识一共出现了两次，即三年级上学期一次、五年级下学期一次。为何这样编排？两次认识的联系与区别又有哪些？特别是相隔两年之后的再次认识，究竟要再度认识些什么？再度认识到何种程度为最佳？……一系列问题值得思考。通过研究和教学实践，我慢慢对上述问题有了答案，现把自己不成熟的认识呈现出来，讨教于各位。

思索：缘何分两次来认识分数

分数的认识，之所以分两个阶段来进行，笔者以为有两个基本原因：一是学生认知的需要；二是学生思维训练的需要。

1.认知的需要：学生深入学习需要充分认识分数

在三年级学生初步认识分数之后，不同版本的教材都在五年级再次安排认识分数的相关内容。人教版小学五年级数学下册第60～64页“分数的意义”；新世纪版小学数学五年级上册第34～36页“分数的再认识”；苏教版小学数学五年级下册第36～37页“认识分数”。在西南师大版、青岛版、河北版的五年级下册小学数学教材中也都安排了“分数的意义”这一学习内容。为什么要这样安排呢？从学生的认知需求来看，需要聚焦知识点间的网络联系。

从纵向来看，分数的再认识是在学生初步认识分数的基础上进行教学的，同时它更是学生进一步学习分数基本性质、约分、通分乃至分数的加减法等后续知识的基础，具有承前启后的关键作用。从横向来看，分数的认识和小数的认识与计算、百分数的认识交织在一起。三年级上学期先初步认识了分数，然后在下学期才开始了小数的认识，这与小数是分数的一种特殊形式这一特性是分不开的。同时，在充分认识分数的基础上，再来认识百分数，这也与分数与百分数的联系（即百分数是分数的一种特殊形式）是分不开的。从这个意义上讲，充分认识好分数，既是对小数认识与理解的一个补充与提升，更是百分数教学的基础。可见，分数的再认识便是基于学生认知需要而设置的。

2.思维训练的需要：分数的再认识中有高强度的思维训练

三年级学生初步认识分数，这是他们学习生涯中第一次接触分数，所以，此时的认识，仅仅是初步的感知，即在学生对分数的生活化感知的基础上，进行最初步的数学化的整理和概括。内容涉及“几分之一”的认识，了解它的产生和应用，会读会写简单的分数，知道分数各部分名称，会进行简单的分数大小比较。所以，本次认识基本建立在分数“是什么”的基础之上，而至于“为什么”那要靠五年级的分数的再认识来解决。同时，分数所反映的是部分与整体或一部分与另一部分之间的关系，而且与整数不同的是要用一对数来表示一个数，一个数作分子，一个数作分母。因此分数的概念比整数的概念更抽象。分数的再认识，有助于发展学生的抽象思维能力。

分数，源于分，形成于数。也就是说，分数的产生源于分物。据资料记载，“随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅靠自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！”可见，分数源于分物，所分对象和具体分的情况，决定着分数的大小和它所表达的部分的实际大小。所以，研究分数，需要首先建立在对分的对象的讨论。在三年级，分的对象仅仅是一个物体、一个计量单位，而到了五年级的再度认识分数，所分对象却成了“一些物体”的“一个整体”。在这种情况下理解分数，便是学生认识与思维的“质”的飞跃，其间包含了高强度的思维训练。例如，6个桃子的1/2是3个桃子，而8个桃子的1 / 2却是4个桃子。同样是表达单位“1”的，为何所表示的实际数量会有所不同？通过分数的再认识，必将会让学生感受到单位“1”的实际数量不同，它的1 / 2所表达的数量也会有所不同。这其间，不仅融入了对分数意义、单位“1”的深度理解，更让学生经历着高强度的思维训练。

探析：究竟要再度认识些什么

基于学生三年级对分数有了初步的认识，那么五年级的再认识，笔者认为主要认识以下几点。

1.认识单位“1”

前面谈到，分数起源于分物，那么分的对象（单位“1”）和分的方法（平均分），便成了认识分数的前提和基础。学生只有能充分认识和把握所分对象（尤其是多个物体组成的一个整体），才能为下一步用分数表达提供可能。尤其是让学生感受到单位“1”不仅可以表示一个物体，还可以表示一些物体，这一点至关重要。当然，这里并非需要大动干戈，花费很多的时间与精力来认识单位“1”，但是，这是一个前提，是一个基础。

2.理解分数的意义

分数意义的理解，不同的教师可能会采用不同的教学方式，但无论哪种方式，最终都将指向分数的本质含义。我认为，分数的意义是宽泛的，而并非仅仅是“把单位‘1平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫分数。”尤其是到了高年级，在围绕分数进行的计算和解决问题的过程中，分数的宽泛内涵便会充分显现出来。例如，有这样一个题目：1吨煤，用去1 / 2，还剩多少？有的学生回答“1 / 2吨”，而有的学生却回答“1 / 2”。他们各有自己的理由，前者说：“1吨煤，用了一半，就剩下半吨，也就是1 / 2吨。”后者说：“1吨煤看作单位‘1，用去1 / 2，一定还剩1 / 2。”在此暂不探讨问题“还剩多少？”的完整性和科学性，先从学生的回答来看他们的理解，他们已经完全接纳了分数的深层含义，即表示“量”和“率”。我认为，“量”和“率”是分数意义的根本所在。张丹教授在《小学数学教学策略》一书中指出：结合国内外已有的研究成果和自己的研究实践，我们认为对分数意义的理解应关注以下两个基本维度和四个具体方面：

在“比的维度”和“数的维度”两个基本维度之下，可以从四个方面来完成对分数丰富性的认识，即比率、度量、运作和商。“比率”指的是部分与整体的关系或部分与部分的关系。“度量”指的是可以将分数理解为分数单位的累积。“运作”指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程。“商”主要指分数转化为除法之后运算的过程，它使学生对分数的认识由“过程”凝聚到“对象”，即分数也是一个数，也和其他数一样进行运算。

由此看来，对分数意义的理解理应冲破“表达部分与整体关系的数”的局限，从更多的角度来认识分数，理解分数。

3.认识分子、分母所表示的意义

对分子、分母所表示意义的理解，看似简单，但其中却渗透了分数产生的过程，即把单位“1”平均分的份数作分母，取了其中的份数作分子。学生在“分”的过程中，表达他们的理解，而并非需要去死记硬背。在“分”中“说”，在“说”中“悟”。

4.认识分数单位

分数单位的认识，也是“分数的再认识”所应关注的重要内容。华罗庚先生曾经说过：“数起源于数，量起源于量。”度量可以很好地将分数理解为分数单位的累积。从“度量”的角度来看，分数是若干个分数单位的“累积”。从这个角度来认识分数，可以更加贴近分数的实质，更加便于学生理解分数的“来龙去脉”。因此，引导学生在丰富多彩的数学活动中，从“度量”的角度来感受和认识分数，这是二次认识分数的重要内容，更是引领学生多角度认识事物的一种训练，一种提升。

5.感受分数之魅力

分数的教学，尽管属于概念教学，但我们应完全超越概念教学的范畴，从哲学的角度，审视学生学习的全过程，渗透辩证思想。尤其是在认识单位“1”的过程中，可创设多种生动、活泼的情景，让学生充分感知单位“1”的神奇与伟大，它可以表示1个苹果，可以表示5车西瓜，还可以表示整个地球……同时，在认识分数之时，可以让学生体会相同分数在不同情境中的不同表达。

追问：对分数再度认识到何种程度为最佳

对分数的再度认识，究竟认识到什么地步才算达到目标呢？笔者认为，只要具备以下“三会”便足以证明学生真正学好了。

1.会举例

面对分数的意义——“把单位‘1平均分成若干份，表示这样一份或者几份的数，叫做分数。”这句话，有的学生可能理解了就是说不上来，也有的学生虽背熟了但不理解。面对这种情况，我认为，抛开这句话的阐述，而放手让学生举例。“会举例子，就说明他真正理解了……”郜舒竹先生曾这样讲过。“举例”和“理解”真的有如此之紧密的因果关系吗？在不便于直接阐述概念之时，在学生无法用语言表述自己的理解之时，不妨让他们举例子说明。应尽量给学生空间，让他们多举例子，通过举例阐释自己的思考，表达自己的理解。

2.会应用

评价学生对分数意义的理解情况，一个很重要的方式便是看其是否会灵活应用。例如，在“分数的意义”一课中，我设计了这样一个练习。

写一写：看到右图，你能写出几个分数？试一试，并分别说一说每个分数所表示的意义。

学生都写出了很多分数，并能对自己的分数一一作出说明。在这样的过程中，学生就是“会应用”了，他们经历了一个个“思考（观察、分析）——呈现（应用）——表达（反思）”的过程。学生写出的分数丰富多彩，他们的表达更是出乎人的意料。有个学生说道：“我写了五分之一。这些彩笔一共有五种颜色，每一种颜色占这五种颜色的五分之一。”你看，这样的孩子，他已经超越了数量的范畴，跨越了时空，在他眼前，就是五种颜色的存在，其中每种色，就是它们的五分之一。这样的孩子，他们对分数的理解一定很深刻，很独到。

3.会思考

学生能结合分数学习的过程，形成和完善自己的思考系统，能用辩证的眼光看待周围的事物，思考生活与学习中的问题。

例如在“分数的意义”一课的最后，我设计了“玩一玩”这样一个小游戏：把全班学生分成了人数不等的小组，然后我发出如下指令：“想办法，表示你们是一个‘整体。”学生很快就找到合适的方式来表现，如牵成一个圆圈或站成一排等。再发指令：“蹲下总人数的二分之一。” “蹲下剩下的人数的二分之一。”这时，有些小组的学生已无法表达，有的学生居然采取“半蹲”的方式，表达着他们对“1 / 2”的理解。学生都积极参与，都在用自己的方式表达着自己的理解，就拿“半蹲”来说，虽不够规范，不够准确，但却流露出了学生独到的思考方式和他们对分数意义的深刻理解。我接着提问：“同样是蹲下二分之一，为何每个小组蹲下的人数不同呢？”“就每个小组来说，每次同样是蹲下二分之一，但为何每次蹲下的人数却又不同呢？”学生议论纷纷，很快谈出了他们的想法。两个问题，引发学生进一步悟得：同一个分数，在不同数量的单位“1”中所表达的实际数量会有所不同。随着单位“1”数量的变化，同一个分数所表示的具体数量也在发生变化。在活动中，学生会思考了，能就教师发出的指令迅速作出判断与处理，再对过程进行反思与总结。

厘清：教学中应注意的几个问题

为了提高“二次认识分数”的教学效果，教学中，教师应注意以下三点。

1.内容把握要适度

传统的概念教学，教师为了避免内容少而枯燥，不好讲的状况，而把更多的精力花在了丰富学习资源之上，以至于出现“课堂容量大，学生难消化”、“内容挖掘深，学生难寻根”的现象。所以，就分数的再度认识来说，应把握好内容设计的度。从国际上来看，分数内容的编排有这样的趋势：简化分数的教学内容；提早出现分数，并分散在各年级进行教学。这与分数的难教难学和使用范围的逐步缩小有密切的关系。所以，教学设计时，要抓住核心内容，进行深刻理解与把握，切忌因盲目补充而增加学生的学习难度。

2.学习方式要灵活

由于分数的再认识属于概念教学的范畴，又因概念教学很难开展一些开放性、挑战性、实践性的数学活动，所以常常出现“教师讲得多，学生练得少”、“课堂环节多，思维空间小”的概念教学“通病”。鉴于此，教师应尽量采取形式多样的练习活动，以激发学生的兴趣，巩固他们的理解，加深他们的认识。通常采用的活动有讲故事、做游戏、搞比赛等，要根据实际需要巧妙选用，灵活处理。

3.表达方式要多样

概念教学，很容易导致教师把过多的时间与精力放在学生对概念的理解与表达之上，因此，学生在表达的过程中常常局限于对概念的记忆与描述。这样的方式，一方面仅仅让一部分语言智能占优势的学生得以展示，其他学生则没有机会，另一方面学生的理解与表达方式受到了局限。因此，教学中不妨采取多种形式，创造各种条件，让学生能用适合的方式呈现出自己的理解，“写一写”、“画一画”、“做一做”、“讲一讲”、“摆一摆”等都是很好的表达方式。

总之，教学中教师需要对教学内容进行“追根溯源”，抓根固本，丰富内涵。同时，更要在教学理念和教学方式上进行“适度超越”，超越教材，超越传统，超越自我。

（责编 金 铃）