双向多尺度双正交向量值小波和小波包的构造

张建基， 库福立， 卢维娜（.新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐830054；.新疆农业大学数理学院，新疆乌鲁木齐83005）

双向多尺度双正交向量值小波和小波包的构造

张建基1， 库福立2， 卢维娜1
（1.新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐830054；2.新疆农业大学数理学院，新疆乌鲁木齐830052）

文章以双向向量值小波的基本理论和概念为基础，给出了r重双向多尺度向量值多分辨分析和双向向量值子空间的概念，以及向量值函数系列可构成子空间Vj的一组Riesz基的条件，并给出了双向多尺度双正交向量值小波和小波包的构造方法相关的一些性质和结论。

双正交；多分辨分析；双向向量值小波

小波分析是近二十多年迅速发展起来的新的数学分支，小波分析广泛应用与信号处理、图像处理与分析、语音识别与合成、量子场论、自动控制、天体物理、分形等领域。向量值小波是一类广义的多小波，它既具有单小波的良好特性，又克服了单小波的缺陷［1－9］。2007年，杨守志教授从两尺度双向加细函数出发，引入了双向加细函数和双正交的概念［10］，证明了满足双向加细函数的支撑区间。本文在此基础上，引入双向向量值尺度函数，并给出了双向多尺度正交向量值小波和小波包的构造方法。

引入记号：R表示实数集，C表示复数集，Z表示整数集，Z＋＝｛n｜n≥0，n∈Z｝。本文中r≥2，且r∈Z，记L2（R，Cr）为向量值函数的集合，并且

1 r重双向多尺度向量值多分辨分析

记r重双向向量值尺度函数φ（x）＝［φ1（x），φ2（x），…，φr（x）］T∈L2（R，Cr），若φ（x）满足如下双向多尺度加细方程

2 双向双正交的向量值小波

利用上述引理，仿照文献［9］的证法，可证得如下：

3 a尺度r重双向双正交向量值小波包

类似的有

同时，由双正交的向量值小波包理论有

证明 由（27），（28）式和数学归纳法得

证法与定理3.4的证法类似。

定理3.6 若向量值函数簇{μn（x）：n∈Z＋}和（x）：n∈Z＋}是与φ（x）和（x）对应的双正交小波包，则对于∀ρ1，ρ2∈n0，有

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Construction of Two－direction M ultiscale Biorthogonal Vector－valued W avelets and W avelet Packet

ZHANG Jian－ji1， KU Fu－li2， LU Wei－na1
（1.School ofMathematical Science，Xinjiang Normal University，Urumqi，Xinjiang，830054，China；2.School ofMath and Physics Science，Xingjiang Agriculture University，Urumqi，Xinjiang，830052，China）

In this paper，based on the basic theory and the conceptof vector－valued wavelet，the rmultiplicity multi－scale vector－valued multi－resolution analysis and subspace of vector valued concepts are introduced.The pa⁃per also shows the condition of a series of Riesz basic of sub－space Vjthat can be composed by vector－valued func⁃tions.In addition，it gives some properties and conclusions related to the constructionmethod of two－directionmulti－scale bi－orthogonal vector－valued wavelets and wavelet packet.

Biorthogonal；Multi－resolution analysis；Two－direction vector－valued wavelets

O174.2

A

1008⁃9659（2015）02⁃046⁃07

2015－02－06

张建基（1989－），男，甘肃武威人，硕士，主要从事小波分析及其应用方面的研究。