高中数学解题中“算两次”思想方法的应用探析

邱文丁

【摘 要】“算两次”这种数学方法在数学中又叫做富比尼原理，其基本思想是：把一个量按照两个不一样的角度进行两次计算，然后建立一种等量关系。本文结合高中数学中具体例子探讨了算两次思想方法在高中数学的应用。

【关键词】高中数学解题；算两次思想方法；应用

解析几何中如果要求某个动点的轨迹，一般是按照动点所满足两个条件来建立等式。算两次思想方法在数学竞赛题中也有较多的应用。在高中数学中，教师和学生在解题时也使用算两次思想方法，但是该解题方法没有受到重视，没有从数学思想上认识它，在教师的解题教学中算两次方法被应用的也不多。

一、算两次数学思想方法在数学题中的体现

某省2010年的一道高考数学题把数列和不等式结合起来：数列{an}，各项都是正数，前n项和是Sn，已知条件是2a2=a1+a3，数列{√ns}是一个等差数列，其公差是d 。该题有两个问题：（1）求出数列{an}的通项公式（公式中符号用n，d来表示）；（2）假设c是实数，m，n，k是三个正整数，它们都满足条件m+n=3k并且m和n两个值不相等，利用m，n，k建立的不等式Sm+Sn>cSk都成立 ，现在要证明c值最大时是9/2。第一小题不难求出通项公式，大部分考生都能求出来，但是对于第二小题不少考生就束手无策了。怎么会这样呢？一个是学生缺少应变与创新能力，还有一个更重要的原因是很多学生没有掌握算两次思想方法。如果考生很熟悉算两次思想方法，第二小题的证明并不难，过程是这样的，从第一小题可得√a1=d，√Sn=√a1+（n-1）d，所以得出d>0，Sn=d?n?.对于三个正整数m，n，k从题设条件可知m+n=3k并且m和n两值不相等，这时从一方面可以Sm+Sn=（m?+n?）d?>（m+n）?d?/2=9/2d?k?=9/2Sk，从这里可以看出cmax≧9/2；从另外一方面，可以取实数a≧9/2，这时假设k是偶数，让m=3k/2+1，n=3k/2-1，所以m，n，k是符合条件的并且Sm+Sn=（m?+n?）d?=d?[（3k/2+1）?+（3k/2-1）?]=1/2d?（9k?+4），所以在9k?+4<2ak?，经计算变形可得k>2/√2a-9，这时Sm+Sn<1/2d?*2ak?=aSk，满足条件情况下c≤9/2，所以cmax≧9/2 。从两个方面都证明了c值最大时是9/2 。

算两次解题法表现出了从两个方面来解题的特点，从深一层次来说它蕴含的思想是换角度看问题也就是转换思想。使用算两次法来解题，一般情况下有三个步骤：一方面……，其它方面……，从这两方面可得……，如果两方面结果都是准确的，结合起来可以获得一个不等式。例如还是2010年某省的高考数学题，有一小题是求出点A与平面PBC之间的距离，解答这道题时也要用到算两次法。

二、算两次法在数学教材解题中的应用

该思想方法是以教材为基础通过对很多道题的解答和证明而获得的，所以说它来自教材，从数学水平和思想上来说又比教材高。在高考数学的命题过程中它是一个重要考查点，高考对它的考查也是以教材为基础的，对于算两次法现在的新数学教材中也出现了好几次，例如在等差数列中求出它的前n项和公式，在推导中要用到倒序相加法；关于两个角在推导其和、差的余弦公式时也用到了算两次法。但在数学的课堂教学中。算两次思想方法并不被重视，不少一线教师和高三骨干教师，对这种思想方法都知道的不多；还有的认为该数学思想方法对于高中阶段数学学习来说不是重要的，所以就不对它做重点讲解，这就使学生在高考解数学题时如果可以用该思想方法解答，学生就不会运用。学会找出数学思想与对应方法，使学生提高分析与解决问题的水平，从而提高他们的数学素质，要把教材作为基础。

在推导定理与公式时多多运用算两次法，增强学生运用该思想方法来分析与解决数学题的意识。在新出版的高中数学教材中，像那些比较重要而又基础性较强的定理与公式，对它们的结论进行证明时需要使用有创新性的方法，创新性主要是说选择较为合适的角度来计算，更方便的建立等量或者不等量关系，这时算两次法便是一种很好的方法，在课堂教学中教师要注意在讲解这种题型时有效运用算两次法，并让学生听明白，增强学生对该数学思想方法的认识。在给学生讲解课本上和其它资料上的题时，对那些典型例题与习题要进行深入和多次讲解，方便学生对算两次思想方法的总结。

三、总结

在立体几何中求两点距离或其它距离经常使用等体积法，这是运用了三棱锥的可换底性质，对三棱锥体积进行两次计算，然后建立等式來求高，算两次法是一种常用到的解题方法，还是一个重要数学思想，在数学课本上它是化归与方程思想的一种表现形式，同时也表现出了换角度思考这种理性思维特点。在使用算两次法来解题时，不必注重其表面形式，重要的是要对该思想方法在本质上认识与理解它。

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