Sylvester定理的应用

曾庆怡（韶关学院 数学与统计学院 ，广东 韶关512005）

Sylvester定理的应用

曾庆怡
（韶关学院 数学与统计学院 ，广东 韶关512005）

摘要：结合高等代数专题教学经验和近年高等代数的考研真题，总结了利用矩阵的Sy1vester定理来解决有关矩阵特征值和行列式问题的方法，供相关人员参考.

关键词：Sy1vester定理；特征值；行列式

在高等代数考研中，矩阵的特征值和特征向量以及行列式计算越来越重要，有些试题要么用常规方法来解决计算量会很大，要么就无从下手.本文使用矩阵的Sy1vester定理来解决这两类问题.

Sy1vester定理［1］：设A是数域F上的m×n矩阵，B是n×m矩阵，m≥n，AB的特征多项式是fAB（λ），BA的特征多项式是fBA（λ），则有：

这里Em表示m阶单位矩阵.该定理表明对数域F上的任意矩阵A，B，AB和BA有相同的非零特征值；特别地，如果m=n，则有|λE-AB|=|λE-BA|，即AB与BA有完全相同的特征值（特征向量未必相同!）.

1　求矩阵的特征值

设A是n阶矩阵，如果A能够分解为两个矩阵B，C的乘积，A=BC，且CB特征值容易求出时，可以考虑使用Sy1vester定理.特别地，如果矩阵A的秩r（A）≤2，则A的特征值很容易求出.

如果矩阵A可以表示为kE±BC的形式，其中r（BC）≤2，则矩阵BC的特征值可以使用Sy1vester定理求出，进而求出A的特征值.

例1设b=（b1，b2，…bn）T是n维非零向量，求矩阵：

的特征值和特征向量.［中南大学，2002］.

解因为A的任意3阶子式全是零，所以r（A）=2.于是：

当λ=0时，由于r（A）=2，AX=0有n-1个线性无关的解向量，即为A的属于特征值0的特征向量.因为b为非零向量，存在bi≠0.于是AX=O与下面方程组同解：

取x2，x3，...，xn+1为自由未知量，依次令x2，x3，...，xn+1为bi，其余为0，可得A的属于特征值0的特征向量：

例2设α，β是欧氏空间Rn的两个正交列向量，且|α|=|β|=2.设En为n阶单位矩阵，A=En+ααT+ββT，求A的特征多项式.［苏州大学，2007］

解因为：

其中B=（α，β）是n×2矩阵，C=BT，且CB=4E2,由Sylvester定理有：

例3设α，β是n维列欧氏空间Rn的两个正交的单位向量.证明矩阵A=αβT+βαT相似于对角矩阵diag（1，-1，0，...，0）.［燕山大学，2012］.

证令B=（α，β），C=（β，α）T则B，C分别为n×2，2×n矩阵.由于α，β正交，α，β线性无关，从而r（B）=r（C）=2.因为A=BC，由Sy1vester定理有：

即A的特征值是λ1=1，λ2=-1，λ3=...=λn=0.因为A为实对称矩阵，A可对角化，从而A相似于对角矩阵diag（1，-1，0，...，0）.

例4证明下列矩阵是半正定矩阵：

证A是实对称矩阵，且A=nE-B其中B是元素全是1的n阶矩阵.令α=（1，1…，1），则B=αTα.设λ 是A的任意特征值，则由Sy1vester定理有：

于是A的特征值是n-1重根n和一重根0，因此A是半正定的.

2　计算矩阵的行列式

使用Sy1vester定理可以计算这样的行列式，该型行列式可以写成数量矩阵kE与两个秩为2或1的矩阵乘积的和，这种行列式使用Sy1vester定理计算.另外kE可以换成可逆的对角矩阵.

例5计算以下行列式：

解该行列式的矩阵可以写成单位矩阵和秩为2的矩阵的和.令：

由Sy1vester定理，有：

例6计算以下行列式：

解令A=diag（x1，x2，…，xn），α=（a1，a2，…，an），则A可逆，且Dn=|A+αTα|=|A||E-（-A-1）αTα|.由Sy1vester定理有：

参考文献：

［1］毛纲源.线性代数解题方法和技巧［M］.长沙：湖南大学出版社，1987.

［2］王萼芳，石生明.高等代数［M］.3版.北京：高等教育出版社，2003.

（责任编辑：邵晓军）

中图分类号：O153

文献标识码：A

文章编号：1OO7-5348（2O15）12-OOO5-O3

［收稿日期］2015-06-19

［作者简介］曾庆怡（1967-），男，湖南邵阳人，韶关学院数学与统计学院副教授，博士；研究方向：环与模范畴.

APPlications of Sylvester Theorem

ZENG Qing-yi
（Schoo1 of Mathematics and Statistic，Shaoguan University，Shaoguan 512005，Guangdong，China）

Abstract：In this PaPer，combining with the author's exPerience in advanced a1gebra teaching and entrance examination of graduate students of advanced a1gebra，some methods of aPP1ications of Sy1vester theorem in ca1cu-1ations of eigenva1ue of matrix and of determinants have been given.

Key words：Sy1vester theorem；eigenva1ues；determinants