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一类奇异拟线性椭圆型方程的正整解

2015-08-04许兴业广东外语外贸大学南国商学院公共课教学部广东广州510545

韶关学院学报 2015年12期

许兴业(广东外语外贸大学 南国商学院公共课教学部,广东广州510545)

一类奇异拟线性椭圆型方程的正整解

许兴业
(广东外语外贸大学 南国商学院公共课教学部,广东广州510545)

摘要:研究一类形如div(|Du|p-2Du)=f(|x|,|Du|)u-β的奇异拟线性椭圆型方程的正整解问题,得到了2个解的存在性及性质的定理.

关键词:奇异拟线性椭圆型方程;正整解;闭凸子集;等度连续;不动点定理

关于非线性椭圆型方程正整解存在性的研究已经取得丰硕成果[1-5],所研究的方程左边多为形如Δu,Δ2u及Δmu的调和,双调和及多重调和方程.但对形如下面的奇异拟线性椭圆型方程:

1主要结果

定理1设f(r,v)满足:

(I)f(r,v)关于v∈R+=[0,∞)是增函数;

(III)存在常数c>0使:

证令u(x)=y(|x|),则方程(1)可归结为常微分方程的初值问题:

其中øp(y)=|y|p-2y,η为待定常数.易见方程的解(4)等价于下面积分方程的解[6]:

从而只需讨论积分方程(5)的可解性.由(II)知:

其中c是(III)中出现的常数,且对每一当时有:

由(III)知:

于是由Lebesgue控制收敛定理得:

由(6)式知可以选择充分小的常数η>0使得:

记C1[0,∞)是定义在[0,∞)上的所有连续可微函数做成的空间,依通常的方法引入拓扑C1[0,∞).作集合:

则Y是C1[0,∞)的闭凸子集.定义映射Ψ∶Y→C1[0,∞)如下:

在这里补充定义:

下面需要证明映射Ψ是Y→Y的连续映射且ΨY是相对紧的.

(i)ΨY⊂Y.

对∀y∈Y,由 (7)和(8)式得:

又由(8)式知,当r>0时:

注意到(10)式中:

所以Ψy⊂Y.

(ii)Ψ是连续映射.

维非零向量, 求矩阵:

设yi∈Y(i=1,2,…)且依C1[0,∞)的拓扑yi收敛于y.对∀r∈[0,∞)由(8)、(10)式得:

由yi→y,|yi′|→|yi′|(i→∞)及函数f(r,v)的连续性,推出映射Ψ依C1[0,∞)拓扑意义把Y连续映射到Y.

(iii)Ψy是相对紧的.

于是(13)式对任意r≥0成立.从而在[0,M]上对(øp((Ψy)′(r)))′有估计式(常数)从而在[0,M]上有估计式[ø(Ψy)′(r)-p1即,故有:

要证明Ψy在Y中是相对紧的,即要证Ψy中任一序列{(Ψy1)(r)}必包含一个子序列,该子序列依C1[0,∞)的拓扑收敛于Y中的一个元素,只要对区间列,(其中Mj↑∞,当j→∞)逐次利用Asco1i-Arze1a定理,并采用“取对角线子列”手续即可完成.

以上证明了Schauder-Tychonoff不动点定理[8]的条件全部满足,所以Ψ存在不动点y∈Y,即y就是方程(8)的解,且依Y的定义知y满足η≤y≤2η,从而也就证明了方程(1)存在有界正整解u(x)=y(| x|),x∈Rn.

选择ηk,(k=1,2,3,…)满足(7)式,且使诸区间[ck,dk]互不相交,其中ck=ηk,dk=2ηk,则对每一k,由上面的证明知方程(1)存在有界正整解uk(x),k=1,2,3,…且ck≤uk(x)≤dk,所以方程(1)存在无穷多个有界正整解.

定理2设f(r,v)满足:

(I)f(r,v)是v∈R+增函数;

(III)存在常数c>0使:

则方程(1)存在无穷多个有界正整解.其中:

由于定理(2)与定理(1)的条件差异仅在第二个,故证明过程与定理(1)类似,只需把定理(1)证明过程中“存在充分小的η使得(7)式成立“改为”存在充分大η的使(7)式成立”即可.

参考文献:

[1]Noussair E S,Swanson C A.Postive So1utions of Quasi1inear E11iPtic Equations in Exterior Domains[J].Math Ana1 APP1,1980 (75):121-133.

[2]Kawano N,Kusano T,NAITO.On the E11iPtic Equations in[J].Proc Amer Math Soc,1985(93):73-78.

[3]Guedda M,Veron L.Loca1 and g1oba1 ProPerties of so1utions of quasi1inear e11iPtic equations[J].Differentia1 Equations,1988 (76):159-189.

[4]许兴业.一类非线性椭圆型方程的正整解[J].数学杂志,1996,16(4):403-411.

[5]Xingye X,Debnath L.Positives Entire So1utions for a C1ass Singu1a1 Non1inear Po1yharmonic Equations on.APP1ied Mathematics and ComPutation[J].2003(140):317-328.

[6]许兴业.可化为常微分方程的一些偏微分方程[J].广东教育学院学报,1999(5):39-44.

[7]Admas R A.Sobo1ev SPaces[M].Boston:Acamdemic Press,1975.

[8]Edwards R E.Functiona1 Ana1ysis[M].New York:Rinchart and Winston,1995.

(责任编辑:邵晓军)

中图分类号:O175.25

文献标识码:A

文章编号:1OO7-5348(2O15)12-OOO1-O4

[收稿日期]2015-08-12

[作者简介]许兴业(1952-)男,广东普宁人,广东外语外贸大学南国商学院教授;研究方向:非线性椭圆型偏微分正整解理论与应用.

The Positive Entire Solutions of a Class of Singular Quasilinear ElliPtic Equations

XU Xing-ye
(DePartment of Pub1ic Course Teaching,South China Business Co11ege,Guangdong University of Foreign Studies,Guangzhou 510545,Guangdong,China)

Abstract:The PaPer studied the Prob1em of Positive entire so1utions of a c1ass of singu1ai quasi1inear e11iPtic equations and have attained two existence theorems of so1utions and ProPerties,such as div(|Du|p-2Du)=f(|x|,|Du|)u-β.

Key words:singu1ar quasi1inear e11iPtic equations;Positive entire so1utions;c1ose convex subset;equicontinuity;fixed Point theorem.