一类奇异拟线性椭圆型方程的正整解

许兴业（广东外语外贸大学 南国商学院公共课教学部，广东广州510545）

一类奇异拟线性椭圆型方程的正整解

许兴业
（广东外语外贸大学 南国商学院公共课教学部，广东广州510545）

摘要：研究一类形如div（|Du|p-2Du）=f（|x|，|Du|）u-β的奇异拟线性椭圆型方程的正整解问题，得到了2个解的存在性及性质的定理.

关键词：奇异拟线性椭圆型方程；正整解；闭凸子集；等度连续；不动点定理

关于非线性椭圆型方程正整解存在性的研究已经取得丰硕成果［1-5］，所研究的方程左边多为形如Δu，Δ2u及Δmu的调和，双调和及多重调和方程.但对形如下面的奇异拟线性椭圆型方程：

1主要结果

定理1设f（r,v）满足：

（I）f（r,v）关于v∈R+=［0，∞）是增函数；

（III）存在常数c＞0使：

证令u（x）=y（|x|），则方程（1）可归结为常微分方程的初值问题：

其中øp（y）=|y|p-2y，η为待定常数.易见方程的解（4）等价于下面积分方程的解［6］：

从而只需讨论积分方程（5）的可解性.由（II）知：

其中c是（III）中出现的常数，且对每一当时有：

由（III）知：

于是由Lebesgue控制收敛定理得：

由（6）式知可以选择充分小的常数η＞0使得：

记C1［0，∞）是定义在［0，∞）上的所有连续可微函数做成的空间，依通常的方法引入拓扑C1［0，∞）.作集合：

则Y是C1［0，∞）的闭凸子集.定义映射Ψ∶Y→C1［0，∞）如下：

在这里补充定义：

下面需要证明映射Ψ是Y→Y的连续映射且ΨY是相对紧的.

（i）ΨY⊂Y.

对∀y∈Y，由 （7）和（8）式得：

又由（8）式知，当r＞0时：

注意到（10）式中：

所以Ψy⊂Y.

（ii）Ψ是连续映射.

维非零向量， 求矩阵：

设yi∈Y（i=1，2，…）且依C1［0，∞）的拓扑yi收敛于y.对∀r∈［0，∞）由（8）、（10）式得：

由yi→y，|yi′|→|yi′|（i→∞）及函数f（r,v）的连续性，推出映射Ψ依C1［0，∞）拓扑意义把Y连续映射到Y.

（iii）Ψy是相对紧的.

于是（13）式对任意r≥0成立.从而在［0，M］上对（øp（（Ψy）′（r）））′有估计式（常数）从而在［0，M］上有估计式［ø（Ψy）′（r）-p1即，故有：

要证明Ψy在Y中是相对紧的，即要证Ψy中任一序列｛（Ψy1）（r）｝必包含一个子序列，该子序列依C1［0，∞）的拓扑收敛于Y中的一个元素，只要对区间列，（其中Mj↑∞，当j→∞）逐次利用Asco1i-Arze1a定理，并采用“取对角线子列”手续即可完成.

以上证明了Schauder-Tychonoff不动点定理［8］的条件全部满足，所以Ψ存在不动点y∈Y，即y就是方程（8）的解，且依Y的定义知y满足η≤y≤2η，从而也就证明了方程（1）存在有界正整解u（x）=y（| x|），x∈Rn.

选择ηk，（k=1，2，3，…）满足（7）式，且使诸区间［ck,dk］互不相交，其中ck=ηk，dk=2ηk，则对每一k，由上面的证明知方程（1）存在有界正整解uk（x），k=1，2，3，…且ck≤uk（x）≤dk，所以方程（1）存在无穷多个有界正整解.

定理2设f（r,v）满足：

（I）f（r,v）是v∈R+增函数；

（III）存在常数c＞0使：

则方程（1）存在无穷多个有界正整解.其中：

由于定理（2）与定理（1）的条件差异仅在第二个，故证明过程与定理（1）类似，只需把定理（1）证明过程中“存在充分小的η使得（7）式成立“改为”存在充分大η的使（7）式成立”即可.

参考文献：

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［4］许兴业.一类非线性椭圆型方程的正整解［J］.数学杂志，1996，16（4）:403-411.

［5］Xingye X，Debnath L.Positives Entire So1utions for a C1ass Singu1a1 Non1inear Po1yharmonic Equations on.APP1ied Mathematics and ComPutation［J］.2003（140）:317-328.

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［7］Admas R A.Sobo1ev SPaces［M］.Boston：Acamdemic Press，1975.

［8］Edwards R E.Functiona1 Ana1ysis［M］.New York:Rinchart and Winston，1995.

（责任编辑：邵晓军）

中图分类号：O175.25

文献标识码：A

文章编号：1OO7-5348（2O15）12-OOO1-O4

［收稿日期］2015-08-12

［作者简介］许兴业（1952-）男，广东普宁人，广东外语外贸大学南国商学院教授；研究方向：非线性椭圆型偏微分正整解理论与应用.

The Positive Entire Solutions of a Class of Singular Quasilinear ElliPtic Equations

XU Xing-ye
（DePartment of Pub1ic Course Teaching，South China Business Co11ege，Guangdong University of Foreign Studies，Guangzhou 510545，Guangdong，China）

Abstract:The PaPer studied the Prob1em of Positive entire so1utions of a c1ass of singu1ai quasi1inear e11iPtic equations and have attained two existence theorems of so1utions and ProPerties，such as div（|Du|p-2Du）=f（|x|，|Du|）u-β.

Key words:singu1ar quasi1inear e11iPtic equations；Positive entire so1utions；c1ose convex subset；equicontinuity；fixed Point theorem.