二项式定理

赵攀峰

二项式定理是中学数学的一个重要定理，不仅在初等数学学习中有着广泛应用，而且又是学习概率、微积分等有关高等数学知识的重要基础.

（1）二项式定理是恒等式，要注意公式的正用和逆用：从左往右用，可解决如整除性问题、余数问题、近似计算等；从右往左用，是把一个多项式合并，或者是一个求和公式，利用它可解决某些求和的问题.

（2）二项式系数、系数、常数项、项数等概念，需在平时加以对比分析，结合通项公式进行重点训练.

（3）在熟练掌握二项式系数的所有性质的基础上，要进一步掌握二项式系数有关性质的证明方法，其中最重要的方法是赋值法. 赋值法是解决二项展开式中有关系数问题的重要手段，许多复杂的与系数有关的问题均可利用赋值法解决.

■例1 在■+■8的展开式中，含x的非整数次幂的项的系数之和为（ ）

A. 72 B. 112 C. 184 D. 256

思索 根据二项式展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简.由x的指数为整数，确定哪几项是整数次幂的项，最后计算出非整数次幂的项的系数之和.

破解 Tr+1=C■■（■）8-r■r=C■■·x■，r=0，1，2，···，8，所以当r=0，4，8时，x的次幂是整数；且C■■=1，C■■=70，C■■=1. 又二项式展开式的所有项系数之和为28=256，故含x的非整数次幂的项的系数之和为256-1-1-70=184. 选项C正确.

■例2 已知x+■2x-■5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________.

思索 首先，由x=1确定a的值，然后需要利用排列组合知识求解特定项.

破解 对于x+■2x-■5，令x=1，得a+1=2，a=1. 又知2x-■5的展开式的通项Tk+1=C■■（2x）5-k·-■k=Ck525-k×（-1）k×x5-2k. 要得到展开式的常数项，则x+■中的x与2x-■5的展开式中含■的项相乘，x+■中的■与2x-■5的展开式中含x的项相乘，故令5-2k=-1，得k=3；令5-2k=1得k=2. 从而可得常数项为C■■×22（-1）3+C■■×23×（-1）2=40.

变式练习

1. （x-y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为________.

2. 在■+■24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（ ）

A. 3项 B. 4项 C. 5项 D. 6项

3. C■■+C■■+···+C■■+···+C■■的值为（ ）

A. 2n B. 22n-1

C. 2n-1 D. 22n-1-1

4. 若ax2+■6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为________.

参考答案

1. -20 2. C 3. D 4. 2endprint