引入需求上限的鹰鸽博弈中合作和竞争的演化动态

李梦婷，刘心声

(南京航空航天大学理学院数学系，南京210016)

引入需求上限的鹰鸽博弈中合作和竞争的演化动态

李梦婷，刘心声

(南京航空航天大学理学院数学系，南京210016)

重点研究考虑资源最大需求上限的鹰鸽博弈中合作和竞争的演化动态.我们假设参与博弈的鸽策略者对资源的最大需求量为m1，参与博弈的鹰策略者对资源的最大需求量为m2(m1＜m2)，资源总量为V(0＜V＜m1+m2)，斗争导致受伤的代价为c(c＞0).首先求出当2m1＜m2时，资源总量V的取值不同时的收益矩阵.随后求出当m2＜2m1时，资源总量V的取值不同时的收益矩阵.基于收益矩阵最后研究引入需求上限的鹰鸽博弈中合作和竞争的演化动态.

Moran过程;鹰鸽博弈;进化博弈理论

1 模型介绍

本文的扩展机制是在传统的鹰鸽博弈的基础上考虑资源最大需求上限.我们假设参与博弈的鸽策略者对资源的最大需求量为m1，参与博弈的鹰策略者对资源的最大需求量为m2(m1＜m2)，资源的总量为V(0＜V＜m1+m2)，斗争导致受伤的代价为c(c＞0).

1.1 当2m1＜m2时，资源总量V取值不同时的收益矩阵［6］

(1)当0＜V≤2m1时，此时的模型为传统的鹰鸽博弈，此时的收益矩阵为:

(2)当2m1＜V≤m2时，此时若两个鹰策略者相遇，斗争不可避免的发生，最终胜利的一方得到全部的资源量V，失败的一方受到一定的伤害c，由于参与博弈的个体具有相同的实力，那么双方的期望收益均为V/2－c/2=(V－c)/2.当一个鹰策略者与一个鸽策略者相遇时，鸽策略者主动退出，鹰策略者得到满足自身最大需求的资源量V，而鸽策略者什么也得不到.当两个鸽策略者相遇时，斗争不会发生，博弈的双方平分资源，因为m1＜V/2，所以鸽策略者各自得到的资源为m1，此时的收益矩阵为:

(3)当m2＜V≤m1+m2时，此时若两个鹰策略者相遇，最终胜利的一方获得最大需求的资源量m2，失败的一方受到一定的伤害c并且得到剩下的资源V－m2，同样双方的期望收益均为m2/2+(V－m2－c)/2=(V－c)/2.当一个鹰策略者与一个鸽策略者相遇时，鸽策略者主动退出，鹰策略者得到满足自身最大需求的资源量m2，而鸽策略者得到剩余的那部分资源V－m2.当两个鸽策略者相遇时，斗争不会发生，博弈的双方平分资源，因为2m1＜V即m1＜V/2，所以鸽策略者各自得到的资源为m1，此时的收益矩阵为:

1.2 当m2＜2m1时，资源总量V取值不同时的收益矩阵

(1)当0＜V≤m2时，此时的模型为传统的鹰鸽博弈，收益矩阵为:

(2)当m2＜V≤2m1时，此时若两个鹰策略者相遇，同上所述双方的期望收益均为m2/2+(V－m2－c)/2=(V－c)/2.当一个鹰策略者与一个鸽策略者相遇时，鸽策略者主动退出，鹰策略者得到满足自身最大需求的资源量m2，而鸽策略者得到剩余的那部分资源V－m2.当两个鸽策略者相遇时，斗争不会发生，博弈的双方平分资源，因为V＜2m1即V/2＜m1，所以鸽策略者各自得到的资源为V/2，此时的收益矩阵为:

(3)当2m1＜V≤m1+m2时，此时若两个鹰策略者相遇，同上所述双方的期望收益均为m2/2+(V－m2－c)/2= (V－c)/2.当一个鹰策略者与一个鸽策略者相遇时，鸽策略者主动退出，鹰策略者得到满足自身最大需求的资源量m2，而鸽策略者得到剩余的那部分资源V－m2.当两个鸽策略者相遇时因为2m1＜V即m1＜V/2，所以鸽策略者各自得到的资源为m1，此时的收益矩阵为:

2 无限种群中的演化动态

考虑一个无限种群，种群中鹰策略者的频率为x，鸽策略者的频率为(1－x)［5］.则可得鹰策略者与鸽策略者的期望收益分别为:

其中E(A，B)表示一个A策略者遇到一个B策略者时得到的收益.

当2m1＜m2时，可得到该模型的复制动态方程［6，7］:

(1)当0＜V≤2m1时，从复制动态方程(1)式中可以看出，当V/c＜1时系统存在唯一的稳定内平衡点x*=V/c，从而鹰策略者和鸽策略者可以达到共存，并且在平衡点处鹰策略者的频率与V成正比，而与c成反比.当V/c≥1时系统不存在内平衡点，此时鹰策略者占优，种群最终被鹰策略者所占领.

(2)当2m1＜V≤m2时，从复制动态方程(2)式中可以看出，当V/c＜1时系统存在唯一的稳定内平衡点x*= (2m1－2V)/(2m1－c－V)，从而鹰策略者和鸽策略者可以达到共存，并且在平衡点处鹰策略者的频率与V成正比，而与c和m1成反比.当V/c≥1时系统不存在内平衡点，此时鹰策略者占优，种群最终被鹰策略者所占领.

(3)当m2＜V≤m1+m2时，从复制动态方程(3)式中可以看出，当(V+c)/2＞m2时，系统存在唯一的稳定内平衡点x*=(2m1－2m2)/(2m1－c－V)，从而鹰策略者和鸽策略者可以达到共存，并且在平衡点处鹰策略者的频率与m2成正比，与资源量V、c及m1成反比.当(V+c)/2≤m2时，系统的内平衡点消失，鹰策略者占优，种群最终被鹰策略者所占领.

综上所述，我们可以发现当2m1＜m2(也就是说鸽策略者对资源的需求量很小于鹰策略者对资源的需求量)时，只要V/c＜1，鹰策略者与鸽策略者就可以达到共存，受伤所付出的代价c的增加总是对鸽策略者有利.当鸽策略者对资源的最大需求量m1、鹰策略者对资源的最大需求量m2及受伤所付出的代价c一定时，资源的增加(0＜V≤m2)对鹰策略者越来越有利，而当V＞m2时，V的进一步增加却越来越有利于鸽策略者.图1为当m2/m1=4时，对于不同的参数c/m1，鹰鸽博弈的稳定内平衡点随参数V/m1的变化情况.图2为当c/m1=8时，对于不同的参数m2/m1，鹰鸽博弈的稳定内平衡点随参数V/m1的变化情况.

对于m2＜2m1时的情况可类似讨论.

3 有限种群中的演化动态

下面我们来分析在无突变的有限均匀种群中引入最大需求上限的鹰鸽博弈的演化动态.我们假设种群的数量为Z，种群中鹰策略者的数量为i，则鹰策略者和鸽策略者的期望收益分别是［6－10］:

鹰策略者和鸽策略者的适合度分别为:

图1 引入最大需求上限的鹰鸽博弈的稳定平衡点随参数V/m1的变化情况(m2/m1=4时)

图2 引入最大需求上限的鹰鸽博弈的稳定平衡点随参数V/m1的变化情况(c/m1=8时)

其中，参数ω表示选择强度.

我们采取Moran过程来研究在有限种群中鹰策略者和鸽策略者的进化动力学.则可得鹰策略者和鸽策略者的固定概率在弱选择下分别近似为:

其中

当2m1＜m2时，分三种情况进行讨论:

(1)当0＜V≤2m1时，由(7)和(8)式可得当前情况下鹰策略和鸽策略的固定概率近似分别为:

从上式中可以看出鹰策略的固定概率ρH与资源量V成正比，与受伤所付出的代价c成反比.鸽策略的固定概率ρD与资源量V成反比，与受伤所付出的代价c成正比.从而说明在0＜V≤2m1的条件下，资源量V的增加或受伤所付出的代价c的减少都对鹰策略有利，资源量V的减少或受伤所付出的代价c的增加都对鸽策略有利.

从预备知识中我们知道，一个策略的固定概率大于1/Z等价于自然选择有利于该策略.由(9)式可知ρH＞1/Z等价于

当Z→+∝时，上式退化为V/c＞1/3.

由(9)、(10)还可以得到ρH－ρD=ω［2c+Z(2V－c)］/4Z

当Z→∝时，由上式可知V/c＞1/2时ρH＞ρD，即鹰策略者风险占优;否则鸽策略风险占优.

(2)当2m1＜V≤m2时，由(7)和(8)式可得当前情况下鹰策略和鸽策略的固定概率近似分别为:

从上式中可以看出鹰策略的固定概率ρH与资源量V成正比，与c及m1成反比.鸽策略的固定概率ρD与资源量V成反比，与c及m1成正比.

由(11)式可知ρH＞1/Z等价于

当Z→∝时，上式退化为5V－c－4m1＞0

在当前情况下，若V/c＞1/3，则5V－c－4m1＞0，即ρH＞1/Z成立.但反之不一定成立，即V/c＞1/3是ρH＞1/Z成立的充分不必要条件.

由(11)、(12)还可以得到

当Z→∝时，上式退化为3V－c－2m1＞0

在当前情况下，若V/c＞1/2时，则3V－c－2m1＞0，也就是说ρH＞ρD成立，即鹰策略风险占优.但V/c＜1/2时，鸽策略不一定风险占优.

(3)当m2＜V≤m1+m2时，由(7)和(8)式可得当前情况下鹰策略和鸽策略的固定概率近似分别为:

从上式中可以看出鹰策略的固定概率ρH与m2成正比，与资源量V、c及m1成反比.鸽策略的固定概率ρD与资源量V、c及m1成正比，m2成反比.也就是说鹰策略者对资源的最大需求量m2越大，资源量V、受伤所付出的代价c及鸽策略者对资源的最大需求m1越小，越有利于鹰策略者，反之越有利于鸽策略者.

由(13)式可知ρH＞1/Z等价于

当Z→∝时，上式退化为3m2－2m1－V/2－c/2＞0

由(13)(14)还可以得到

当Z→∝时，由上式可知当2m2－m1－V/2－c/2＞0时，ρH＞ρD，即鹰策略者风险占优;否则鸽策略风险占优.

对于m2＜2m1时的情况可类似讨论.

4 结语

本文在传统的鹰鸽博弈的基础上考虑最大需求上限从而构建新的模型，也就是假设参与博弈的鸽策略者和鹰策略者对资源具有最大需求量且分别为m1、m2.然后根据资源总量V与2m1、m2、m1+m2的大小关系求出相应的收益矩阵，最后在此收益矩阵下分析无限种群和有限种群中合作和竞争的演化动态.在无限种群中只要V/c＜1，鹰策略者与鸽策略者就可以达到共存.在有限种群中我们求出鹰策略和鸽策略的固定概率并分析参数对固定概率的影响.无论在有限种群中还是在无限种群中，受伤的代价c的增加总是对鸽策略有利;在m2＜V≤2m1的情况下，m1的增加不会产生任何影响，而在其余情况下m1的增加也总是对鸽策略者有利.在不同的情况下资源总量V对鸽策略者有不同的影响.

［1］MAYNARD SMITH J，PRICE G R.The logic of animal conflict［J］.Nature，1973，246:15－18.

［2］ 王幽然.证券市场中噪声交易的“鹰鸽博弈”理论分析［J］.河南工业大学学报:社会科学版，2008，4(3):21－24.

［3］CUSHING B S.When a hawk can damage a dove:an extension of game theory［J］.Theor，Biol，1995，175:173－176.

［4］CROWLEY PH.Hawks，doves，and mixed－symmetry games［J］.Theor.Biol，2000，204(4):543－563.

［5］NOWAK M A.Evolutionary dynamics:exploring the equations of life［M］.Harvard University Press，2006.

［6］SAMUELSON L.Evolutionary games and equilibrium selection［M］.Mit Press，1997.

［7］TAYLOR C，FUDENBERG D，NOWAK M A.Evolutionary game dynamics in finite populations［J］.Bul，Math，Biol，2004，66:1621－1644.

［8］ANTAL T，SCHEURING I.Fixation of strategies for an evolutionary game in finite populations［J］.Bul，Math，Biol，2006，68:1923－1944.

［9］OHTSUKIH，BORDALO P，NOWAK M A.The one－third law of evolutionary dynamics［J］.Theor.Biol，2007，249(2): 289－295.

［10］VON NEUMANN J，MORGENSTERN O.Theory of games and economic behavior［M］.Princeton University Press，1944.

［责任编辑 王新奇］

On Evolution Dynam ics of Cooperation and Com petition in the Hawk and Dove Game w ithin Upper Lim it of Demand

LIMeng－ting，LIU Xin－sheng

(Department of Mathematics，School of Science，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China)

Our focus is on the evolution dynamics of cooperation and competition in the hawk and dove game within the upper limit of resource demand.If themaximum resource demand of the dove strategists is m1，meanwhile，that of the hawk strategists is m2(m1＜m2)and the total resource is V(0＜V＜m1+m2)，the cost of fighting woundswill be c(c＞0).Firstly，under the condition of 2m1＜m2，the total resource V ismeasured against non－simultaneous income matrix;Secondly，under the condition of m2＜2m1，the total resource V ismeasured against nonsimultaneous incomematrix.Lastly，based on incomematrix，evolution dynamics of cooperation and competition in the hawk and dove gamewithin the upper limitof resource demand are studied.

Moran process;hawk and dove game;evolutionary game theory

1008－5564(2015)01－0022－05

O211.9

A

鹰鸽博弈自从被John Maynard和George Price提出以后［1］，就被广泛用于讨论人类社会和动物世界中普遍存在的竞争和冲突等现象，如人类战争，证券投资［2］等.同时国内外很多著名的学者也对其进行了一系列扩展以使其更具有现实意义，例如，Cushing考虑了在博弈过程中鹰可能会对鸽造成伤害这一因素［3］，Crowley考虑了博弈个体可能不清楚自己和对手的竞争能力、清楚自己和对手的竞争能力和只清楚其中一方的能力从而分别得到对称的鹰鸽博弈、非对称的鹰鸽博弈和混合对称的鹰鸽博弈［4］，在这些博弈模型中，无论资源总量有多大，胜利的一方总能占领全部的资源.然而在现实世界中，有时候资源很大或者胜利的一方对资源的需求量很小以至于胜利的一方不能完全占有它，这时候失败的一方就可以得到剩下的那部分资源.此时的鹰鸽博弈就不能再用传统的鹰鸽博弈来描述.因此，对鹰鸽博弈进行相应的扩展是有实际意义的.

2014－09－16

李梦婷(1986—)，女，安徽淮北人，南京航空航天大学理学院数学系硕士研究生，主要从事概率论与数理统计研究.