近世代数中“群在集合上的作用”教学探讨

【摘要】群是近世代数中最基本的内容之一，群在集合上的作用是群论中的重要概念并且在组合计数上有着广泛的应用。以培养学生应用知识的能力为目标，对近世代数中“群在集合上作用”部分在教学时进行内容优化，增加其在组合计数中应用环节的讲解，以在实践中的应用加强学生对知识的理解。

【关键词】近世代数 群在集合上的作用 课程改革 教学实践

【基金项目】商洛学院科研基金（12SKY011，13jyjx119）。

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）07-0147-01

1.引言

近世代数又称为抽象代数，是以研究代数系统的性质与构造为主的一门学科。群是近世代数中最基本的内容之一，群在集合上的作用是群论中的重要概念，并且应用广泛，尤其是在具有对称性的组合计数问题上有重要应用，但这一部分内容在“近世代数”课程教学中是一个难点。一方面就其内容本身而言，完全体现了近世代数高度抽象的特点，另一方面它的应用又与其他学科相结合，因此在教学中，学生很难理解。同时，随着高校改革的发展，加强培养应用型人才的培养不仅是一大批高校的改革方向，更是社会所需。我们在“近世代数”这门抽象程度高、推理逻辑性强的课程进行教学改革，以培养学生应用知识的能力为目标，对近世代数中“群在集合上作用”部分在教学时进行内容优化，增加其在组合计数中应用环节的讲解，以在实践中的应用加强学生对知识的理解。

2.“群在集合上的作用”教学过程

在大多数本科生的近世代数课程教材中都是把“群在集合上的作用”的概念和它的应用分开叙述，并且应用基本上都是在简单几何体上的计数的应用，缺少连贯性。这就使得学生在学习概念时，由于它的高度抽象性，学的仅仅是一知半解，只是单单记住它的形式；而到后面再学习它的应用时，对前面所学概念已模糊不清，对它的应用就更难理解了。

我们在教学时，尝试把“群在集合上的作用”的概念和其应用放在一块来讲，打乱教材的编排次序，并且增加一些组合计数中应用的例子。

“群在集合上的作用的概念及其应用”讲授时大概需要2个学时。第一个学时重点是群在集合上的作用的概念的讲解，由几何体的变换群，以正四边形的全体变换（四种旋转变换变换和四种镜面反射变换）所构成的变换群入手，引出群在集合上的作用的概念，再回头运用正五边形、正六边形和正四面体的例子解释、验证群在集合上作用的概念，加深学生对概念的理解。强调群在集合上的作用的重点是找准群，看清集合元素，理解好群对集合作用的条件。然后给出群在集合上作用的轨道的概念，结合前面讲的例子，分析得出轨道的简单性质。最后留给学生思考题：设有2种颜色的珠子，要做成有四颗珠子的手链，最多有多少种不同的方案？做一简单分析，回应开头正四边形的变换群，同时引出下一节群在集合上的作用在组合计数上的应用。

第二个学时重点讲解群在集合上的作用在组合计数上的的应用。以上一节的思考题开始，给出 Burnside 引理（也称 Burnside 定理），引出与之类似的组合计数中经常用到的 Polya 定理。然后以求解在平面图形和立体图形的顶点上染色方案数为例，讲解 Polya 计数定理的应用。平面图形的染色先以均匀分为两节的木棒、均匀分为三节，均匀分为n节的木棒染色再到四个珠子的手链、五个珠子的手链的染色方案，立体图形主要以正四面体和正六面体为例。这样举例由浅入深，学生更容易理解接受。例题讲解时重点放在分析变换群的构造，引导学生总结出图形的变换群由旋转变化和镜面反射变化两类构成，并且区分平面图形和空间图形的的不同特点。最后总结群在集合上的作用的概念和其应用，重点强调利用其计数时关键是群的构造。

3.教学效果分析

我们这样对教学内容重新整合后，使得“群在集合上的作用”的概念及其应用联系起来，不但在讲解时节省了学时，并且增加组合计数中的 Polya 计数定理。从学生的作业和课后对学生的随机调查中可知，学生对“群在集合上的作用”的理解较往届学生有很大提高，学生对这部分概念不再是单单形式上记忆，而是体会到了群在集合上的作用的内涵，并且学会如何运用抽象的代数知识解决一些组合计数问题，体会到了代数知识的强大功能，提高了学习的兴趣。

通过教学实践的效果看，这样把群在集合上作用的概念和它的应用结合在一块讲，使学生能够通过应用更好地理解概念，对概念的理解的加深能够更好的掌握它的应用；更重要的让学生体会带群在集合上作用的强大功能，潜移默化地培养了学生应用知识的能力，适应了培养应用人才目标的需求。

参考文献：

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作者简介：

王晓（1980—），男，河南南阳人，硕士，讲师， 研究方向：应用数学。