离散LPV系统的鲁棒故障估计

王汉斌，　陈华民，　翁正新

离散LPV系统的鲁棒故障估计

王汉斌，陈华民，翁正新

（上海交通大学自动化系，上海200240）

对一类具有仿射参数依赖关系的离散线性参数变化（LPV）系统的鲁棒故障估计问题进行研究.基于增益调度思想，提出一种鲁棒故障估计器的设计方法，所设计的故障估计器与对象具有相同的参数依赖性.首先以线性矩阵不等式（LMI）的形式给出并证明故障估计器存在的充分必要条件，然后给出故障估计器的构造方法，最后通过一个数值例子展示设计过程.仿真结果表明，所设计的故障估计器可以快速、准确地重构系统中的故障信号.

故障估计；离散时间线性参数变化系统；增益调度；鲁棒H∞滤波

现代控制系统正变得越来越复杂，对系统安全性和可靠性的要求也日益提高，动态系统故障诊断与容错控制的研究开始受到越来越多的关注.故障估计是近几年故障诊断领域的研究热点，其有效结合故障检测与故障分离的功能，利用1个故障估计器重构系统的故障信号，实现故障的检测与分离，并了解故障的相关信息.

本文主要研究离散线性参数变化（LPV）系统的鲁棒故障估计问题.LPV系统指一类特殊的线性动态系统，其主要特征是系统的状态空间表达式依赖于一些时变参数，这些时变参数通常可被在线测量或估计［1］.当时变参数沿给定的参数变化轨迹变化时，LPV系统退化为一般的线性时变（LTV）系统；当这些参数为某些固定值时，系统退化为线性定常（LTI）系统.在实际应用中，许多的非线性系统都可用LPV模型描述.

目前，对LPV系统故障诊断的研究主要集中在连续系统上，对离散LPV系统的研究较少.Varrier等［2］针对离散LPV系统，提出一种基于等价空间的故障诊断方法，利用车辆横向动力模型证明方法的有效性；Wang等［3］研究带延时离散LPV系统的故障检测问题，将故障检测滤波器的设计问题转化成H∞滤波问题求解；Rodrigues等［4］针对离散多面体LPV系统，提出一种故障诊断滤波器的设计方法，将算法应用到带有传感器故障的缠绕机系统中，实验结果验证方法的有效性.这3种方法主要针对离散LPV系统的故障检测，利用系统中已知的信号生成残差信号，反映系统中故障发生与否.这些方法虽然可以诊断故障的发生，但难以表达故障类型、严重程度等重要信息.Astorga-zaragoza等［5］采用基于未知输入观测器的故障诊断方法，针对离散LPV系统提出一种故障估计器的设计方法，所设计的估计器虽然可准确重构出系统中的故障信号，但其对时变参数的变化、模型的不确定性以及外部扰动的鲁棒性不强.

本文利用鲁棒H∞优化技术，研究离散LPV系统的故障估计问题.所设计的故障估计器不仅可以快速、准确地重构系统的故障信号，而且对系统中的不确定性具有较强的鲁棒性.

1　问题描述

考虑离散LPV系统P（θ）

式中：xp（k）∈Rn为系统的状态变量；u（k）∈Rp为系统的控制输入；d（k）∈Rq为系统的扰动信号；f（k）∈Rl为系统的故障信号；yp（k）∈Rm为系统的测量输出；Ap（θ），Bp（θ），Cp（θ），Dp（θ），Ep（θ），Fp（θ），Gp（θ）和Hp（θ）等为适当维数的矩阵.假设参数变化的范围已知，且在实际运行中可以进行在线测量.

对于式（1），作以下假设：

（1）时变参数向量θ（k）在顶点为θ1，θ2，…，θr的多面体Θ内变化，即

（2）式（1）中各状态空间矩阵都仿射依赖于时变参数向量θ（k）.

（3）矩阵Cp（θ），Dp（θ），Gp（θ）和Hp（θ）参数独立，即

根据假设（1）和（2），式（1）可表示为

式中：Api，Bpi，…，Hpi为Ap（θ），Bp（θ），…，Hp（θ）在参数多面体Θ的顶点θi处的值.

由式（4）可知，当时变参数向量θ（k）变化时，系统P（θ）也在一个多面体中变化，该多面体的顶点是P（θi），i=1，2，…，r，具有这种特性的系统称为多面体系统.

注释1如果假设式（3）不成立，那么可通过引入前置或后置滤波器，使得系统满足要求［6］.故障估计器F（θ）的状态空间表达式为

式中：xf（k）∈Rk为故障估计器的状态变量；y（k）= （uT（k）yT（k））T∈Rp+m为故障估计器的输入；^f（k）∈Rl为故障估计器的输出，即故障信号的估计；Af（θ），Bf（θ），Cf（θ）和Df（θ）为需要设计的故障估计器的状态空间矩阵.原系统与故障估计器的连接如图1所示，ef（k）代表故障估计误差.

图1　系统故障估计器Fig.1　Fault estimator for the plant

假设F（θ）与系统P（θ）具有相同的参数依赖性，即：

式中：Afi，Bfi，Cfi和Dfi分别为Af（θ），Bf（θ），Cf（θ）和Df（θ）在参数多面体Θ的顶点θi处的值.

故障估计器的设计目标是使故障估计误差ef（k）=f（k）-^f（k）极小化.为使用鲁棒H∞优化技术讨论该问题，可将估计器和原系统的连接图转变成图2的形式.其中，Paug（θ）为所谓的广义对象，其具体的状态空间表达式为

其他矩阵都具有适当的维数.

图2　离散LPV估计器的综合框架Fig.2　H∞synthesis structure for discretetime LPV estimator

注释2由于ef（k）=^f（k）-f（k），根据式（7），ef（k）∈Rp 1，^f（k）∈Rm2，因此m2=P1.

图2所示闭环系统的状态空间描述为

式中：

由式（9）、（10）可知，闭环系统式（9）也是多面体系统，其状态空间表达式可改写为：

式中：Acli，Bcli，Ccli和Dcli分别代表Acl（θ），Bcl（θ），Ccl（θ）和Dcl（θ）在参数变化多面体Θ中顶点θi处的值.

问题1设LPV系统式（1）满足假设条件（1）～（3），寻找一个LPV故障估计器F（θ），使得对于满足限制条件（2）的所有可能的参数变化轨迹θ（k），图2所示系统二次稳定，且由外部输入w到故障估计误差ef的闭环传递函数的L2诱导范数小于一定值γ.

2　故障估计问题的可解条件

利用基于离散LPV系统的有界实引理，经过适当运算，可得到问题1的解.

定理1考虑LPV系统式（1），假设其满足假设条件（1）～（3）.设NS为（C2D21）的零空间的基，则存在一个满足问题1的k阶离散LPV故障估计器的充分必要条件是：存在矩阵0＜R=RT∈Rn×n和0＜S=ST∈Rn×n，使得下列矩阵不等式成立：

证明根据基于离散LPV系统的有界实引理［6］，离散LPV系统的故障估计问题1有解的充分必要条件是线性矩阵不等式

存在正定对称解Xcl∈R（n+k）×（n+k）.

结合式（6）、（9）～（11），式（15）可改写为

Ψ（θi）=

由投影定理［7］可得，式（16）成立的充分必要条件是：

式中：WP和WQ分别为P和Q的零空间的基.

依据式（18）和（19）中P和Q的表达式，WP和WQ可分别写成：

将矩阵Xcl和Xcl-1按式（23）进行分块

式中：S，R∈Rn×n和E，F∈Rk×k均为对称矩阵；N，M∈Rn×k.

将式（10）、（22）和（23）代入式（20）、（21）中，经转化，式（20）和（21）成立等价于式（24）和（25）成立.

则式（12）和（13）得证.

定义矩阵T1和T2为由Xcl的定义，易知

对不等式Xcl＞0左乘TT1，右乘T1，并利用式（28），可得Xcl＞0成立等价于则式（14）得证，完成定理1的证明.

3　故障估计器的构造

由定理1的证明过程可推导出故障估计器的构造方法，算法1详细介绍LPV故障估计器的设计步骤.

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（1）根据定理1，求出满足式（12）～（14）的解R、S.

（2）计算Xcl.由式（23）可得，MNT=I-RS，对I-RS进行因式分解获得列满秩矩阵M，N，再由式（28）解得Xcl.

（3）利用凸优化算法求解式（16），

i=1，2，…，r

（4）在线测量时变参数向量θ（k），求其在参数多面体Θ的顶点θ1，θ2，…，θr处的凸分解，即

相应的故障估计器的状态空间矩阵

4　数　例

考虑离散LPV系统p1（k）和p2（k）为系统时变参数.假设参数的运动轨迹分别为：

p1（k）=-0.2-0.014k

采样次数为100，参数的变化范围为

根据定理1求解式（12）～（14），得到最优的γ值为0.26，相应的矩阵解为

根据算法1，可得到F（θi），i=1，2，3，4.对于实时测量的参数变量θ（k），利用式（30）和（31）可在线计算LPV故障估计器的状态空间矩阵.

故障估计的结果见图3.在仿真过程中，取干扰信号d为标准差=0.2的高斯白噪声，控制信号μ为单位阶跃信号，考虑突变故障和缓变故障等2种类型故障.为进行比较，采用标准方法设计1个固定参数的鲁棒故障估计器［7］.设计中，时变参数取其名义值，即p1=-0.9，p2=0.65.由图3可知，LPV故障估计器可很好地应对时变参数的变化，抑制系统中干扰的影响，准确地重构各类故障信号.固定参数的鲁棒估计器不能很好地应对参数的变化，而LPV故障估计器则可很好地完成故障估计的任务.

图3　LPV故障估计器与固定参数估计器的比较Fig.3　The comparison of the LPV fault estimator and fixed parameter fault estimator

5　结　语

针对离散LPV系统，研究鲁棒故障估计器的设计问题.提出的LPV故障估计器与原系统具有相同的参数依赖关系.文中用线性矩阵不等式表示满足要求的故障估计器存在的充分必要条件，通过求解线性矩阵不等式，可以构造LPV故障估计器.仿真结果表明，本文设计的故障估计器可准确、快速地进行故障估计.

［1］Shamma J S.An overview of LPV systems［C］／／Mohammadpour J，Scherer WC.Contr Linear Parameter Varying Syst Application.Berlin：Springer，2012：3-26.

［2］Varrier S，Koenig D，Martinez M J J.A parity spacebased fault detection on lpv systems：approach for vehicle lateral dynamics control system［C］／／Preprints 6th IFAC Symp Fault Detection，Supervision&Safety Tech Processes.Mexico City，2012：806-811.

［3］Wang C，Wang H，Gao H，et al.Robust fault detection for a class of discrete-time LPV systems with time-delays［C］／／Proc 1st Int Symp Systems&Contr Aerospace&Astronautics.Harbin，2006：1239-1244.

［4］Rodrigues M，Sahnoun M，Theilliol D，et al.Sensor fault detection and isolation filter for polytopic LPV systems：a winding machine application［J］.J Process Contr，2013，23（6）：805-816.

［5］Astorga-Zaragoza C M，Theilliol D，Ponsart J C，et al.Fault diagnosis for a class of descriptor linear parameter-varying systems［J］.Int J Adaptive Contr& Signal Proc，2012，26（3）：208-223.

［6］Apkarian P，Gahinet P，Becker G.Self-scheduled H∞control of linear parameter-varying systems：a design example［J］.Automatica，1995，31（8）：1251-1261.

［7］Gahinet P，Apkarian P.A linear matrix inequality approach to H∞control［J］.Int J Robust&Nonlinear Contr，1994，4（4）：421-448.

（编辑俞红卫）

Robust Fault Estimation for DiscreteTime LPV System

WANG Hanbin，CHEN Huamin，WENG Zhengxin
（Department of Automation，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China）

The robust H∞fault estimation problem for affine discrete-time linear parameter varying（LPV）system was studied.Based on the gain scheduling techniques，a new design method of robust H∞fault estimator was proposed.The designed fault estimator possessed the same parameter dependence as the plant.A necessary and sufficient condition for the existence of the fault estimator was presented in terms of linear matrix inequations（LMI）.The synthesis algorithm of the fault estimator is presented.A numerical example is proposed to introduce the synthesis process of the estimator，and the simulation result demonstrated that the designed fault estimator could reconstruct the fault signal promptly and accurately.

fault estimation；discrete-time linear parameter varying（LPV）system；gain scheduling；robust H∞filterin g

TP 277

A

1671-7333（2015）03-0265-06

10.3969／j.issn.1671-7333.2015.03.011

2015-01-11

上海市自然科学基金资助项目（12ZR1415000）

王汉斌（1990-），男，硕士生，主要研究方向为LPV系统的故障估计研究.E-mail：wanghanbin＠sjtu.edu.cn

翁正新（1966-），男，副教授，主要研究方向为故障诊断与容错控制.E-mail：zxweng＠sjtu.edu.cn