泰勒公式及其应用

闫艳

【摘 要】泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，它能将一些复杂的函数近似地表示成简单的多项式函数。本文主要探讨了泰勒公式在极限运算、近似计算、不等式的证明、级数敛散性的判断等方面的应用。

【关键词】泰勒公式 极限 不等式 收敛性

一、泰勒公式

泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上占有重要地位，在近似计算、极限计算、函数性质的研究等方面都有着重要的应用。泰勒公式的一般形式为：

其中为拉格朗日余项或皮亚诺型余项。

若令，则泰勒公式变为麦克劳林公式，即：

二、泰勒公式的应用

1.利用泰勒公式求极限

为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理分式的极限，就能简捷地求出。

例如求极限 ，此为型极限，若用罗比塔法则很麻烦。这时可将和分别用其泰勒展开式代替，则可简化此比式，求得

==.

注：用泰勒公式计算极限的实质是利用等价无穷小的替代来计算极限。我们知道，当时， 等，这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式开至一次项，有些问题用泰勒公式和我们已经熟知的等价无穷小法相结合，问题又能进一步简化。

2. 利用泰勒公式判断函数的极值

讨论函数极值通用的方法是：当且（或）时，是的极小（大）值。但如果此时，此方法不能判别 是否为极值点，可用泰勒公式。

3. 泰勒公式判断广义积分的收敛性

为一正值函数，要判定的收敛性，如果能找到恰当的，，使，由比较判别法的极限形式可判别出无穷积分的收敛性。这里的问题也是如何选取，才能应用判别法则呢？运用泰勒公式通过研究的阶，就可以解决这类问题。

4. 利用泰勒公式近似计算和误差估计

泰勒定理：若函数在的某邻域内有直到n+1阶的连续偏导数，则对内的任一点，存在相应的，使得

=+…

+）

5.利用泰勒公式证明不等式

在高等数学中，常常要证明一些不等式，而且证明不等式的方法很多。泰勒公式除了上面介绍的一些应用外，在证明不等式时也很方便。在欲证的不等式（或题设）中含有一阶以上的导数，一般可以利用泰勒公式。应用的关键在于根据题设的条件如何选择要展开的函数、在哪一点的邻域将函数展开、展开的阶次及余项形式。

综上可知，一般当问题涉及二阶以上导数时， 可考虑利用泰勒公式求解。把 看成定点， 看成动点，通过定点 处的函数值 及导数值， ，… 来表达动点 处的函数值。在解题中，只要注意分析研究题设条件及其形式特点，恰当地选择函数、点 、展开的阶次n 及余项形式，并把握上述处理原则， 就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧。