论三角函数图象的变换

杨明

摘要：通过三角函数的图象变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质。讨论的重点和难点内容是对周期变换、相位变换先后顺序调整后对图象平移量的影响。问题的实质是不管哪种顺序的变换，都是对一个字母x而言的变换。对这一概念的理解将直接影响到学生的解题思路也成为突破难点的关键。本论文力图充分挖掘学生在学习本节内容时思路在哪里会受阻，帮他们找到问题的实质。用典型的例子举一反三的去论述，进而使学生遇到同类题时能够有清晰的解题思路提高答题的正确率。因此要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、知识的全面发展。

关键字：三角函数；图象变换；整体思想；五点作图；

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）06（b）-0000-00

1 三角函数图像的变换的思想理论

新的课程标准明确指出 “数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质。”其含义就是：我们不仅要重视数学的应用价值，更要注重其思维价值和人文价值。

三角函数是中学数学的重要内容之一，它既是解决生产实际问题的工具，又是学习高等数学及其它学科的基础。本论文是在学习了任意角的三角函数，两角和与差的三角函数以及正、余弦函数的图象和性质后，进一步研究函数 （以下讨论中 ）的简图的画法，由此揭示这类函数图象与正弦曲线的关系，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映。讨论的重点和难点内容是对周期变换、相位变换先后顺序调整后对图象平移量的影响。问题的实质是不管哪种顺序的变换，都是对一个字母x而言的变换。对这一概念的理解将直接影响到学生的解题思路也成为突破难点的关键。本论文力图充分挖掘学生在学习本节内容时思路在哪里会受阻，帮他们找到问题的实质。用典型的例子举一反三的去论述，进而使学生遇到同类题时能够有清晰的解题思路提高答题的正确率。因此要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、知识的全面发展。

2 通过具体的例题讨论三角函数图像变换的实质问题

先讨论重点和难点内容：对周期变换、相位变换先后顺序调整后对图象平移量的影响。为了能够让学生更好地理解，我们可以通过“五点作图法”正确找出函数 到 的图象变换规律，使学生掌握能用五点作图法和图象变换法画出函数 的简图，掌握“五点作图法”的精髓，这样可以让他们既复习了旧知，又为准确使用本将要内容用提供必要的保障。

下面从以下两个方面讨论由函数 到 的图象变换规律，让学生体会到由简单到复杂，特殊到一般的化归思想和整体思想在解题中的应用；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题。

2.1 通过具体例子来讨论先周期变换再相位变换图象变换规律，即由函数 到 再到 的图象变换规律

如何由 到 ？我们可以利用之前学习的五点作图法画函数 的图象，列表中最关键的步骤是将 看作一个整体，令其分别为0， ， ， ， 。列表和函数图象如下：

如何由函数 的图象通过变换得到函数 的图像，通过观察图形我们可以看到由函数 到函数 纵坐标不变横坐标缩短为原来的 。得到一般规律由函数 到 纵坐标不变横坐标伸长或缩短为原来的 倍。

如何由函数 的图象通过变换得到函数 的图象？在碰到这个问题时，学生很感兴趣，因此首先会猜想“左移 个单位长度”，为了验证自己的想法，通过列表和“五点作图法”画出 的图象。列表和函数图象如下：

通过比较，最后会发现由函数 的图象通过“左移 个单位长度”变换得到函数 的图象。进而得出由 沿 轴平移 的单位到 ，左右平移的规律是“左正右负”（或“左加右减”）。

2.2 通过以上例题来讨论先相位变换再周期变换图象变换规律：即由函数 到 再到 的图象变换规律。同上方法得到由函数 的图像到 的图像“左移 个单位长度”，由 的图像再到 的图像“纵坐标不变横坐标缩短为原来的 ”。

归纳起来，先周期变换再平移变换即由函数 到 再到 的图象变换规律是先把函数 的图象横向收缩为原来的 ， 变成了 ，得到 的图象；再把所得图象向左平移 个单位长度， 变成了 ，得到 的图象。先平移变换再周期变换由函数 到 再到 的图象变换规律是先把函数 的图象向左平移 个单位长度， 变成了 ，得到 的图象；再把所得图象横向收缩为原来的 ， 变成了 ，得到 的图象。

2.3 比较得出三角函数图像变换问题的实质，出现了以下新的问题，问题1，为什么由 到 的图象变换平移量不是 而是 ？解决这一难题可以用两种方法。一种是全局的抽象的，突破此难点的关键是，要着眼x的变化，把 变形为 ，是把x变成了 ，所以平移量是 ；另一种是通过具体的点的平移进而得出整个图像的平移， 得 ，函数 的图像一定过点（0，0）。再令 得 ，所以函数 的图像一定过点 。由点（0，0）到 纵坐标没变，横坐标向左平移了 个单位。所以由 向左平移 个单位到 。由特殊到一般，这个问题的实质是是要着眼x的变化，把 变形为 ，是把x变成了 ，所以平移量是 ，掌握问题的实质可以作为一种解题的方法。而另一种解题方法是是通过具体的点的平移进而得出整个图像的平移，令 得 ，函数 的图像一定过点（0，0）。再令 得 ，所以函数 的图像一定过点 。由点（0，0）到 纵坐标没变，横坐标平移了 个单位。所以 到 的图象变换平移量不是 而是 。问题2，为什么第一种变换是平移了 而第二种变换是平移了 ，都是由 变换到 ，变换顺序不一样，平移量不一样最终为什么会得到同一函数呢？第二种变换最终的平移量是多少呢？因为由 到 ，横坐标都缩短为原来的 ，所以 上的点 到 对应变成 ， 到 平移量是 。两种变换中间的过程不同但是最终得到的却结果相同。问题的实质相同都是着眼于 的变化。由特殊到一般从以上的的分析可以看出要分化此难点，可分类探求函数：① 到 ，② 到 的图象变换规律。学生最难理解和最易出错的就是理解① 到 的图象变换规律，因此从特例出发，更具有直观性，便于学生操作，从而达到分化难点、突出重点的目的。endprint

2.4 考察此知识点的题型和解题方法，讨论了由函数 到 的图象变换规律后，可以归纳出来考察这个知识点有比较典型的两种题型。一类是已知三角函数 和 ，求 经过怎样的平移变换得到 ；另一类是已知三角函数 ， 经过平移后得到函数 ，求 的函数表达式。下面通过具体的例子来讨论这类题型的解题方法。例1： ， ， 经过怎样的平移得到 ？解法一（本质的）： ， 所以 向右平移 得到 。解法二（通过具体的点的平移）：令 解得 ，所以 一定过 ，令 解得 ，则 一定过 ，所以由 向右平移 到 ，即由 向右平移 得到 。当然还有其他方法，比如图像法等，这里例举解题两种最常用最快的解题方法。例2：已知 ， 向左平移 个单位后得到函数 ，求 的表达式。错解： 向左平移 个单位得 ，所以 。错误原因是没有找到问题的实质：函数图像的变换都是只对 的变换。正确解法： 向左平移 个单位得 。

3 由函数 图像通过怎样的变换得到 图象

通过实例综合以上两种变换，重点是比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因，即x的变化，并由此导出一般规律。

由函数 的图像通过怎样的变换到 的图象？在前两个问题解决的基础上即弄清相位变换和周期变换后，直接找一般规律：由函数 纵坐标伸长或缩短 倍得到函数 的图象。函数 中的 对图形的影响。

在分析清楚以上变换方法后，得出一般变换方法：由函数 的图象经过如下的变换得到 的图象。

4 总结

在得出由函数 到 变换方法后。探讨如下例题：已知函数 指出经过怎样的变换可得到 的图象。解法一（先周期变换再平移变换）： ，纵坐标缩短为原来的 得到 ，横坐标伸长3倍得到 沿 轴向右平移 个单位得到 的图像。解法二（先平移变换再周期变换） 纵坐标缩短为原来的 得到 ，沿 轴向右平移 得到 的图像，横坐标伸长3倍得到 。两种变换正是上表两种变换的逆序变换，顺序不同平移量也不同但最终的结果一样，把握问题的实质能帮我们又快又准确的找到问题的答案。

通过“五点作图法”正确找出函数由函数 到 和 的图象变换规律进而找到图象变换问题的实质。教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力。本论文突出体现了以学生能力的发展为主线，应用启发式引导学生层层深入，培养学生自主探索以以及发现问题、分析问题和解决问题的能力，注重利用非智力因素促进学生的学习，实现数学知识价值和思维价值高度统一。对数学的探索是一个长期的过程，充分挖掘数学的应用价值、思维价值和人文价值，需要我们教育工作者的不断创新，与时俱进。

参考文献：

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[2] 徐其明. 浅谈高考三角函数的知识复习[J]. 快乐阅读，2013：1.

[3] 陈曦. APOS理论下任意角三角函数概念的教学研究[J]. 中国优秀硕士学位论文全文数据库，2014：3-4.

[4] 陈振宣.三角函数在中学数学中的核心地位[J]数学通报，2009：3-4.endprint