关于向量在解决高中数学问题中的应用研究

李卓洁

摘要：向量是高中数学中应用广泛实用性极强的一部分内容，其数与形结合的特点，使其成为了高中数学课程中最为重要的教学内容和解题手段。高中数学多个部分的知识可以通过向量有机地串联起来，形成一个统一的整体。对于此，本文从向量的基本特点出发，着重分析向量在高中数学解题中的实际应用。

关键词：向量；高中数学；解题应用

向量在数学中的定义是具有大小和方向的量，存在可移动性。作为高中数学中重要的知识点，不仅可以给学生带来新的认识，还可以为学生提供新的解题方法，更可以加强教师的课堂教学效果。因此，在实际数学问题中，加强对向量的应用研究尤为重要。

一、向量的内涵

向量进入数学领域是在二十世纪，但其在十九世纪就已经被物理学家和数学家进行了研究应用。我国在二十世纪九十年代将向量的相关知识纳入了高中数学，成为了高中数学的重点。向量中集合以V表示，V构成了向量的加法换算群。在V中，运算出向量的数量积就可以表达向量的长度，在向量长度具有实际意义之后，（V，R）对向量相关的运算构成了线性范围。其是数学建模的基础，也是其别类别代数的主要研究对象。因此，向量可以解决多方面的数学难题。向量具备了形和数的特点，将数和形联系成一体。其可以表示物体的位置，也可以反映物体的面积长度等基本性质。对于一些抽象性的问题，向量更可以将其具象化，形成直观的模型，便于问题解决。

二、向量在高中数学问题中的应用分析

（一）向量在平面几何中的应用

向量的大小和方向可以反映相关线段或点之间的长度关系以及位置关系。向量根据不同的性质还可以分为平行向量、共线向量和零向量等。在平面几何中，利用向量知识来解决相关问题，比运用几何知识解决问题要更加方便。

举例来说，已知三角形MOA的三个顶点坐标分别为M（-3，1），O（2，0），A（0，-2），线段AO、AM、OM的中点分别为B、C、D，求解相关直线BC、CD、BD的方程。对于这个问题，运用向量知识可以轻松解决。首先可以得出点B坐标为（1，-1），点C坐标为（-1.5，-0.5），点D坐标为（-0.5，0.5）。再求解BC直线方程，设点H（x，y）为BC上一点，则向量BH和BC平行且共线，通过平行关系即可求解出BC的直线方程。同理可解得直线CD、BD的方程。通过将线段转化为向量，再利用向量的相关知识，就轻松解决了问题。在平面几何问题中运用向量时，一定要将点和线之间的关系对应清楚，否则会导致结果错误。

（二）向量在不等式证明中的应用

证明条件不等式或者不等式，经常需要通过一些技巧对不等式进行变形处理，否则会很难证明。此时运用向量知识来进行相关变形处理，则会令问题简化，容易证明结果。

举例来说，有等式（a2+b2）（m2+n2）=（am+bn）2，其中mn不等于0，求证a/m=b/n。对于这个问题，只要细心观察等式就能发现括号中的部分与向量的模以及数量积是一样的。因此可以设向量P=（a，b），向量Q=（m，n），通过式子可以看出P和Q之间是平行关系。所以，通过平行向量的特點可以得出an-bm=0，再进行变换就可得a/m=b/n的结果。所以，在不等式证明中将相关数字转化为向量，可以将抽象的关系转化为具象的向量的关系，从而轻松得出结果。在不等式证明中应用向量时，一定要仔细观察不等式的基本特点，找出向量的切入点，再加以运用。

（三）向量在解方程中的应用

方程解析在高中数学中也是很常见的问题，对于某些方程而言，直接通过技巧变形很难解出方程，这时就可以考虑使用向量法来解决问题。

举例来说，已知x，y，z可以同时使方程2x+3y+z=13和4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82成立，求实数x，y，z的值。对于这个问题，若直接用方程解析的方法很难解出答案，这时就可以运用向量法来简化问题。首先将两个方程相加，再对方程两端进行配方可以得到（2x）2+（3y+3）2+（z+2）2=108；仔细观察式子就可以发现该式与向量模一致，则可以设向量P=（2x，3y+3，z+2；，向量Q=（1，1，1），经过计算可得P的模值为6[3]，Q的模值为[3]，向量PQ=18；又因为PQ≤|P||Q|=18，并且只有当2x=3y+3=z+2>0时，该不等式才成立。根据这些条件就可以得出方程的解。

（四）向量在三角函数中的应用

三角函数是高中数学的重难点内容，也是高考的必考内容。通过向量数量积，可以将向量与三角函数有机结合起来，为三角函数相关问题提供便利的解决方式。

举例来说，已知cosa+cosb-cos（a+b）=3/2，求解a，b的值。根据相关三角函数公式，可以对原式进行变形，可以得到（1-cosb）cosa+sinasinb=3/2-cosb。仔细观察该式就可以发现其与向量数量积一致，则可以设向量P=（1-cosb，sinb；，向量Q=（cosa，sina），将两向量相乘可得PQ=3/2-cosb，|P||Q|=[2-2cosb]；再根据相应关系可得|3/2-cosb|≤[2-2cosb]，相应可以得出cosb=1/2，即角b=600，再将其带入原式，可以得到角a的值。在三角函数的问题中应用向量法，可以简化三角函数的变形步骤，具象三角函数之间的关系，将复杂的问题化为简单的向量，大大提高了解题的效率。

结束语：

向量在高中数学中来说，具有极大的实用性，从平面几何到空间几何，从三角函数到方程不等式，都可以应用向量的相关知识来简化问题。教师在实际教学中应当以向量的实际应用方法展开相关教学，不断提升教学效率和质量。

参考文献：

[1]朱音.例谈向量方法在高中数学解题中的应用[J].长三角：教育，2012（07）

[2]王晓.高中数学解题中向量方法的应用分析[J].高中数理化，2014（12）

[3]刘永斌.向量在高中数学解题中的应用[J].吉林教育，2010（03）